外力が$F(t)$が作用する運動

問題

質量$m$の質点に外力$F(t)$を加え、質点を運動させた。
質点の任意の時刻$t$における速度$v(t)$を求めよ。
但し、$t=0$での速度$v(0)$は$v_0$であるとする。

(1) 外力$F(t)$が、$F(t)=F_0$ のとき

(2) 外力$F(t)$が、$F(t)=F_0t$ のとき

(3) 外力$F(t)$が、$F(t)=F_0\sin\omega t$ のとき

($F_0$, $\omega$は一定であるとする。)

解答

運動方程式を立てて、速度を計算する。

(1) 運動方程式は

\begin{align*}
ma=F_0\\
m\frac{\diff v}{\diff t}=F_0
\end{align*}
と表すことができる。
よって、
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}=\frac{F_0}{m}
\end{align*}
を$t$で積分して
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}&=\frac{F_0}{m}\\
v&=\frac{F_0}{m}t+C_1 \qquad( C_1 \mbox{：積分定数)}
\end{align*}
となる。
ここで初期条件$v(0)=v_0$より
\begin{align*}
v(0)=\frac{F_0}{m}\cdot 0+C_1&=v_0\\
C_1&=v_0
\end{align*}
従って
\begin{align*}
v(t)=\frac{F_0}{m}t+v_0
\end{align*}
となる。

(2) 運動方程式は
\begin{align*}
ma=F_0 t\\
m\frac{\diff v}{\diff t}=F_0 t
\end{align*}
と表すことができる。
よって、
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}=\frac{F_0}{m} t
\end{align*}
を$t$で積分して
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}&=\frac{F_0}{m} t\\
v&=\frac{F_0}{m}t^2+C_2 \qquad(C_2 \mbox{：積分定数)}\\
&=\frac{1}{2}\frac{F_0}{m}t^2+C_2
\end{align*}
となる。
ここで初期条件$v(0)=v_0$より
\begin{align*}
v(0)=\frac{1}{2}\frac{F_0}{m}\cdot 0^2+C_2&=v_0\\
C_2&=v_0
\end{align*}
従って
\begin{align*}
v(t)=\frac{F_0}{2m}\cdot t^2+v_0
\end{align*}
となる。

(3) 運動方程式は
\begin{align*}
ma=F_0\sin\omega t\\
m\frac{\diff v}{\diff t}=F_0\sin\omega t
\end{align*}
と表すことができる。
よって
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}=\frac{F_0}{m}\sin\omega t
\end{align*}
を$t$で積分して、
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}&=\frac{F_0}{m}\sin\omega t\\
v&=\frac{\diff F_0}{\diff m}\cos\omega t\cdot-\frac{1}{\omega}+C_3 \qquad(C_3 \mbox{：積分定数)}\\
&=-\frac{F_0}{m\omega}\cos\omega t+C_3
\end{align*}
となる。
ここで初期条件$v(0)=v_0$より
\begin{align*}
v(0)=-\frac{F_0}{m\omega}\cos\omega t+C_3&=v_0\\
-\frac{F_0}{m\omega}+C_3&=v_0\\
C_3&=v_0+\frac{F_0}{m\omega}
\end{align*}
従って
\begin{align*}
v(t)&=-\frac{F_0}{m\omega}\cos\omega t+\frac{F_0}{m\omega}+v_0\\
&=\frac{F_0}{m\omega}(1-\cos\omega t)+v_0
\end{align*}
となる。