微分方程式

2024/9/7

雨滴の落下

問題質量$m$の雨滴が落下する運動を考える。このとき、速度に比例する空気抵抗が働き、その大きさを$kv$とする。以下の問いに答えよ。但し、初期条件$v(0)=0$とする。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 速度$v(t)$を求めよ。 (3) $v-t$グラフを描け。また原点での傾きを求めよ。 (4) 十分に時間が経過した状態の速度(終端速度)を求めよ。解答 (1) 雨滴に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「空気抵抗力$kv$」になります。従って、運動方程式は \begin{eqnarr ...

力学微分方程式物理学

2020/2/11

単振動の変位と速度、加速度の関係

問題単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) = A \sin (\omega t) \end{eqnarray*} と表されているとき以下の問に答えよ。 (1) 速度 $v$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (2) 加速度 $a$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (3) 単振動は運動方程式 $\ddot{y}+\omega ^2 y =0$ を満たすことを示せ。解答 (1) 速度$v$は \begin{eqnarray*} v = \frac{\diff y} ...

力学微分方程式物理学

2020/2/11

単振動の微分方程式

問題単振動の微分方程式 \begin{align*} m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx \end{align*} の解を$x(t)=Ce^{\lambda t}$とおいて解け。但し、$C,\lambda$は定数とする。解答 $\omega^2=\frac{k}{m}$とおくと、 \begin{align*} \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x \end{align*} となる。解である$x(t)=Ce^{\lambda t} ...

微分方程式物理数学

2020/2/11

微分方程式～自由落下

問題質量$m$の物体を自由落下させることを考える。鉛直下向きを正の向きにとり高さ$z$を測ると、物体の持つ全エネルギーは \begin{align*} E=\frac{1}{2}mv^2-mgz \end{align*} と書ける。 $t=0$で$z=0$にあり、全エネルギーが保存されることを用いて高さ$z(t)$を求めよ。但し、$v$は速度、$g$は重力加速度を表しているとする。解答全エネルギー$E$を変形すると \begin{align*} E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\ ...