問題
粗い水平面上に置かれた質量$m$の物体に水平と$\alpha$の角をなす方向から
力$F$を加えたとする。物体が滑り出さないための力$F$の条件を求めよ。
但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。
解答
$x,y$軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと
物体に作用する力は重力$mg$、抗力$R$、加える力$F$となる。
$x,y$軸に合わせて力を分解すると
運動方程式は
\begin{align*}
\begin{cases}
ma_x=F\cos\alpha-f\\
ma_y=N-mg-F\sin\alpha
\end{cases}
\end{align*}
と表すことができる。
$a_y=0$より
\begin{align*}
0&=N-mg-F\sin\alpha\\
N&=mg+F\sin\alpha
\end{align*}
となる。
物体が動き出さないためには$x$軸において
\begin{align*}
F\cos\alpha-f<0
\end{align*}
のときである。
$f=\mu N$より
\begin{align*}
F\cos\alpha-\mu(mg+F\sin\alpha)&<0\\
F\cos\alpha-\mu mg-\mu F\sin\alpha&<0\\
F(\cos\alpha-\mu \sin\alpha)-\mu mg&<0\\
-F(\mu \sin\alpha-\cos\alpha)-\mu mg&<0\\
F(\mu \sin\alpha-\cos\alpha)+\mu mg&>0
\end{align*}
ここで$\mu mg>0$であるため、$F$の係数である$\mu\sin\alpha-\cos\alpha$が正であれば、
$F$の大きさによらず滑り出さない。
即ち
\begin{align*}
\mu\sin\alpha-\cos\alpha&>0\\
\tan\alpha&>\frac{1}{\mu}
\end{align*}
が条件となる。
\begin{align*}
\tan\alpha<\frac{1}{\mu}
\end{align*}
の場合は$F$の大きさを考える必要があり、
\begin{align*}
F(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)-\mu mg&<0\\
F(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)&<\mu mg\\
\\
F&<\frac{\mu mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}
\end{align*}
であれば滑り出さないことになる。