微分方程式

2020/2/11

問題単振動の変位 $y(t)$ が

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \sin (\omega t) \end{eqnarray*}$ と表されているとき以下の問に答えよ。 (1) 速度

$v$ と変位

$y$ の関係を表わせ。 (2) 加速度

$a$ と変位

$y$ の関係を表わせ。 (3) 単振動は運動方程式

$\ddot{y}+\omega ^2 y =0$ を満たすことを示せ。解答 (1) 速度

$v$ は \begin{eqnarray*} v = \frac{\diff y} ...

2020/2/11

問題単振動の微分方程式

$\begin{align*} m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx \end{align*}$ の解を

$x(t)=Ce^{\lambda t}$ とおいて解け。但し、

$C,\lambda$ は定数とする。解答

$\omega^2=\frac{k}{m}$ とおくと、

$\begin{align*} \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x \end{align*}$ となる。解である$x(t)=Ce^{\lambda t} ...

2020/2/11

問題質量 $m$ の物体を自由落下させることを考える。鉛直下向きを正の向きにとり高さ $z$ を測ると、物体の持つ全エネルギーは

$\begin{align*} E=\frac{1}{2}mv^2-mgz \end{align*}$ と書ける。

$t=0$ で

$z=0$ にあり、全エネルギーが保存されることを用いて高さ

$z(t)$ を求めよ。但し、

$v$ は速度、

$g$ は重力加速度を表しているとする。解答全エネルギー

$E$ を変形すると \begin{align*} E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\ ...