物理学

2024/9/9

鉛直ばね振り子

問題軽いバネの一端を天井に固定して吊り下げた。このとき、バネの下端を原点とする。バネの下端に質量 $m$ の物体を取り付け、静止させた位置を $x_0$ とする。物体をさらに $x_1$ の位置まで引き下げ、静かに放して振動させた。物体を放した瞬間を $t=0$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度 $v(t)$ を求めよ。 (3) 物体の位置 $x(t)$ を求めよ。解答 (1) 物体に作用する力は場の力「重力 $mg$ 」と接触力「ばねの弾性力 $kx$ 」なので運動方程式は \ ...

力学物理学

2024/9/7

雨滴の落下

問題質量 $m$ の雨滴が落下する運動を考える。このとき、速度に比例する空気抵抗が働き、その大きさを $kv$ とする。以下の問いに答えよ。但し、初期条件 $v(0)=0$ とする。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 速度 $v(t)$ を求めよ。 (3) $v-t$ グラフを描け。また原点での傾きを求めよ。 (4) 十分に時間が経過した状態の速度(終端速度)を求めよ。解答 (1) 雨滴に作用する力は場の力「重力 $mg$ 」と接触力「空気抵抗力 $kv$ 」になります。従って、運動方程式は \begin{eqnarr ...

力学物理学

2024/9/7

単振動の平均エネルギー

問題質点が単振動している。1周期についての運動エネルギーの平均値 $\bar{K}$ と弾性力による位置エネルギーの平均値 $\bar{U}$ を求め、これらが等しいことを示せ。解答図のような単振動のモデルを考えた場合、運動方程式は

$\begin{eqnarray*} m \frac{\diff v}{\diff t} =-kx \end{eqnarray*}$ となる。両辺を

$x$ で積分すると、 \begin{eqnarray*} \int m\frac{\diff v}{\diff t}\diff x ...

力学物理学

2024/9/5

単振り子の近似

問題質量 $m$ の物体が長さ $L$ の糸で吊るされている。物体を鉛直線を基準に振れ角 $\theta_0$ で静かに手放した。この時の鉛直線からの距離を $A_0$ とする。以下の問いに答えよ。但し、振れ角 $\theta_0$ は十分に小さく、 $A_0 \ll L$ とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の運動を単振り子とみなしたとき、周期 $T$ 、振幅 $A$ を求めよ。 (3) 物体を手放した時刻を $t=0$ として、最下点を初めて通過する時刻 $t_1$ を求めよ。 (4) 物体の位置 $x(t)$ を$ ...

力学物理学

2024/9/5

非等速円運動

問題図のように、円の一部を軌道として運動するモデルを考える。物体を糸の水平状態(点A)にして放し、円運動させ、点B(最下点)を通過し、点Cまで達した。運動中、糸は弛まず質量は無視できるほど軽いとする。糸の長さ $l$ 、物体の質量 $m$ として以下の問いに答えよ。但し、重力加速度は $g$ とする。又、ある時刻 $t$ での糸と鉛直線のなす角を $\theta$ として用いてよいとする。 (1) $r$ 方向、 $\theta$ 方向の加速度を $a_r, a_\theta$ としたとき、それぞれの方向の運動方程式を記述せよ ...

力学物理学

2024/9/3

単振動の一般解から位置 $x(t)$ の決定

問題単振動の一般解 $x(t)=A \sin (\omega t + \phi)$ において以下の初期条件を満たすような関数 $x(t)$ を求めよ。但し、 $x_0, v_0$ は定数とする。 (1) $x(0)=0 , \ v(0)=v_0$ (2) $x(0)=x_0 , \ v(0)=0$ (3) $x(0)=x_0 , \ v(0)=v_0$ (4) $x(t_1)=x_0 , \ v(t_1)=0$ 解答単振動の一般解 \begin{eqnarray*} x(t)=A \sin (\omega t ...

力学物理学

2024/9/3

天秤が回転しない条件

問題軽い棒の両端に質量 $m$ の物体と質量 $M$ の物体が図の様に取り付けられ、点 $o$ で糸に吊るされている。この棒が回転しない条件を以下の問題に沿って答えよ。 (1) 棒に作用する力を書き込め。 (2) 棒の運動方程式を記述せよ。 (3) 棒の回転の運動方程式を記述せよ。 (4) 棒が回転しない条件 $\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$ を求めよ。解答 (1) 軸の設定は「 $x$ 軸は右向き正」とし「 $y$ 軸は上向き正」とします。棒に作用する力は、左右の重り「重力 $mg$ 」「重力 ...

力学物理学

2025/1/20

斜面を滑り上がる運動

問題摩擦がある斜面を質量 $m$ の物体が滑り上がる運動を考える。水平面となす角は $\theta$ として以下の問いに答えよ。但し、動摩擦力は $f=\mu_k N$ として用いてよいとする。斜面に沿って上向きに初速度 $v_0$ で物体を打ち出したところ、時刻 $t_1$ で移動距離 $L$ になり物体は止まった。 (1) この運動中に作用する力を書き込め。 (2) この運動の運動方程式を記述せよ。 (3) 運動方程式の両辺において距離積分を行い、仕事とエネルギーの関係式を導け。 (4) 動摩擦力がした仕事$W_{摩 ...

力学物理学

2024/8/30

地表との衝突

問題ある高さから質量 $m$ の物体を真下に投げ下ろしところ、地表に衝突する瞬間の速度の大きさが $v_1$ となった。 (1) この衝突において力 $F$ が作用したとする。地表に衝突した瞬間の運動を記述せよ。 (2) この衝突において、力 $F$ は重力 $mg$ に比べて十分に大きく $F \gg mg$ であり、又、衝突は完全弾性衝突であったとする。物体が地表から受けた力積 $I$ を運動方程式から導け。解答 (1) 衝突した瞬間に作用する力は、場の力「重力 $mg$ 」と接触力「地表から受ける力 $F$ (抗力を含む)」なの ...

力学物理学

2024/8/29

力学の問題を考える手順

運動学と力学の基本的な物理量の定義運動学とは力学の分野の内で「物体の運動を時間や空間の観点から記述する学問」であり、力などの作用については言及しない分野です。まずは力学の基本的な物理量である・位置ベクトル $\vec{r}$ ・速度ベクトル $\vec{v}$ ・加速度ベクトル $\vec{a}$ の定義を確認しておきましょう。速度ベクトル $\vec{v}$ 位置ベクトル $\vec{r}$ を $\vec{r}=(x, y, z)$ とすると「速度ベクトル $\vec{v}$ は位置ベクトル$\vec{r ...

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