力学 物理学

等速円運動の位置、速度、加速度

問題

半径r0、速さv0で等速円運動をしている物体について
以下の問いに答えよ。

(1) 速度ベクトルvと位置ベクトルrが直交していることを示せ。

(2) 速度ベクトルvと加速度ベクトルaが直交していることを示せ。

(3) 加速度の大きさ|a|を求めよ。


34-1


解答

直交を示す方法として、vr=0を示す方法を用いる。
rvのそれぞれをそれ自身と内積を取ると
等速円運動より
rr=|r||r|cosθ=|r|21(θ=0より)=|r|2=r20vv=|v||v|cosθ=|v|21(θ=0より)=|v|2=v20


となる。

(1)
rr=r20の両辺をtで微分すると
ddt(rr)=drdtr+rdrdt=ddt(r20)2rdrdt=0rv=0


従って、rvは直交している。

(2)
vv=v20の両辺をtで微分すると
ddt(vv)=dvdtv+vdvdt=ddt(v20)2vdvdt=0va=0


従って、raは直交している。

(3)
rv=0の両辺をtで微分すると
ddt(rv)=drdtv+rdvdt=0vv+ra=0v20+ra=0ra=v20|r||a|cosθ=v20|r||a|1=v20(θ=πより)|a|=v20|r||a|=v20r0


となる。

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