問題
半径r0、速さv0で等速円運動をしている物体について
以下の問いに答えよ。
(1) 速度ベクトル→vと位置ベクトル→rが直交していることを示せ。
(2) 速度ベクトル→vと加速度ベクトル→aが直交していることを示せ。
(3) 加速度の大きさ|→a|を求めよ。

解答
直交を示す方法として、→v⋅→r=0を示す方法を用いる。
→rと→vのそれぞれをそれ自身と内積を取ると
等速円運動より
→r⋅→r=|→r||→r|cosθ=|→r|2⋅1(θ=0より)=|→r|2=r20→v⋅→v=|→v||→v|cosθ=|→v|2⋅1(θ=0より)=|→v|2=v20
となる。
(1)
→r⋅→r=r20の両辺をtで微分すると
ddt(→r⋅→r)=d→rdt⋅→r+→r⋅d→rdt=ddt(r20)2→r⋅d→rdt=0→r⋅→v=0
従って、→rと→vは直交している。
(2)
→v⋅→v=v20の両辺をtで微分すると
ddt(→v⋅→v)=d→vdt⋅→v+→v⋅d→vdt=ddt(v20)2→v⋅d→vdt=0→v⋅→a=0
従って、→rと→aは直交している。
(3)
→r⋅→v=0の両辺をtで微分すると
ddt(→r⋅→v)=d→rdt⋅→v+→r⋅d→vdt=0→v⋅→v+→r⋅→a=0v20+→r⋅→a=0→r⋅→a=−v20|→r||→a|cosθ=−v20|→r||→a|⋅−1=−v20(θ=πより)|→a|=v20|→r||→a|=v20r0
となる。