鉛直ばね振り子

問題

軽いバネの一端を天井に固定して吊り下げた。このとき、バネの下端を原点とする。バネの下端に質量$m$の物体を取り付け、静止させた位置を$x_0$とする。物体をさらに$x_1$の位置まで引き下げ、静かに放して振動させた。物体を放した瞬間を$t=0$とする。以下の問いに答えよ。

(1) 物体の運動方程式を記述せよ。

(2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。

(3) 物体の位置$x(t)$を求めよ。

解答

(1)
物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「ばねの弾性力$kx$」なので運動方程式は

$$\begin{eqnarray*} m a &=& mg-kx \\ \\ m \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}&=& mg -kx \end{eqnarray*}$$
となります。

(2), (3)
運動方程式をさらに式変形をすると、

$$\begin{eqnarray*} m \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}&=& -k \biggl( x- \frac{mg}{k} \biggr) \\ \end{eqnarray*}$$
となり、$\displaystyle X= x- \frac{mg}{k}$とおくと

$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff^2 X}{\diff t^2} &=& \frac{\diff}{\diff t} \biggl[ \frac{\diff}{\diff t} \biggl( x- \frac{mg}{k} \biggr) \biggr] \\ \\ &=& \frac{\diff}{\diff t} \biggl( \frac{\diff x}{\diff t} \biggr) \\ &=& \frac{\diff^2 x}{\diff t^2} \end{eqnarray*}$$
であるから、運動方程式を書き換えると

$$\begin{eqnarray*} m \frac{\diff^2 X}{\diff t^2}&=& = -k X \\ \end{eqnarray*}$$
となる。
この微分方程式の一般解は$\displaystyle \omega^2=\frac{k}{m}$とおくと

$$\begin{eqnarray*} X(t) &=& A \sin (\omega t + \phi) \\ \end{eqnarray*}$$
と表され、$\displaystyle X= x- \frac{mg}{k}$より

$$\begin{eqnarray*} x(t) - \frac{mg}{k}&=& A \sin (\omega t + \phi) \\ \\ x(t) &=& A \sin (\omega t + \phi) + \frac{mg}{k}\\ \end{eqnarray*}$$
となります。速度$v(t)$については
$$\begin{eqnarray*} v(t) = \frac{\diff x(t)}{\diff t} &=& \frac{\diff}{\diff t} \biggl[ A \sin (\omega t + \phi) + \frac{mg}{k}\ \biggr] \\ \\ &=& A \omega \cos (\omega t + \phi) \end{eqnarray*}$$
となります。

初期条件$v(0)=0 , x(0)=x_1$より

$$\begin{eqnarray*} v(0) = A \omega \cos (\omega \cdot 0 + \phi) &=& 0 \\ \\ A \omega \cos \phi &=& 0 \\ \\ \cos \phi &=& 0 \qquad (A\omega \ne 0) \\ \\ \phi = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$$
となり、

$$\begin{eqnarray*} x(0) = A \sin \biggl(\omega \cdot 0 + \frac{\pi}{2} \biggr) + \frac{mg}{k} &=& x_1 \\ \\ A \sin \frac{\pi}{2} + \frac{mg}{k} &=& x_1 \\ \\ A + \frac{mg}{k} &=& x_1 \\ \\ A &=& x_1 - \frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$$
となる。

ここで、位置$x_0$で静止させた場合の運動方程式は$a=0, x=x_0$より

$$\begin{eqnarray*} 0 &=& mg -kx_0 \\ \\ x_0 &=& \frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$$
と表される。

従って、位置$x(t)$については

$$\begin{eqnarray*} x(t) &=& \biggl( x_1 - \frac{mg}{k} \biggr) \sin \biggl( \omega t + \frac{\pi}{2} \biggr) + \frac{mg}{k} \\ \\ &=& \bigl( x_1 - x_0 \bigr) \cos \omega t + \frac{mg}{k} \\ \\ &=& \bigl( x_1 - x_0 \bigr) \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t + \frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$$

となり、速度$v(t)$については

$$\begin{eqnarray*} v(t) &=& \biggl( x_1 - \frac{mg}{k} \biggr) \omega \cos \biggl( \omega t + \frac{\pi}{2} \biggr) \\ \\ &=& -\bigl( x_1 - x_0 \bigr) \omega \sin \omega t \\ \\ &=& \bigl( x_0 - x_1 \bigr) \omega \sin \omega t \\ \\ &=& \bigl( x_0 - x_1 \bigr) \sqrt{\frac{k}{m}} \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t \end{eqnarray*}$$

となる。