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問題 極座標の平面を考える。 加速度$\vec{a}$において$r$方向の加速度$a_r$と$\theta$方向の加速度$a_\theta$を求めよ。 解答 $a_r,a_\theta$を$a_x,a_y$を用いて表すと、 \begin{align*} a_r=&a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\ a_\theta=&-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta \end{align*} となる。 ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r ...

問題 極座標の平面を考える。 速度$\vec{v}$において$r$方向の速度$v_r$と$\theta$方向の速度$v_\theta$を求めよ。 解答 $v_r,v_\theta$を$v_x,v_y$を用いて表すと、 \begin{align*} v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\ v_\theta&=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta \end{align*} となる。 ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r\co ...

問題 半径$r_0$、速さ$v_0$で等速円運動をしている物体について 以下の問いに答えよ。 (1) 速度ベクトル$\vec{v}$と位置ベクトル$\vec{r}$が直交していることを示せ。 (2) 速度ベクトル$\vec{v}$と加速度ベクトル$\vec{a}$が直交していることを示せ。 (3) 加速度の大きさ$|\vec{a}|$を求めよ。 解答 直交を示す方法として、$\vec{v}\cdot\vec{r}=0$を示す方法を用いる。 $\vec{r}$と$\vec{v}$のそれぞれをそれ自身と内積を ...

問題 次の式を証明せよ。ただし$\phi$はスカラーとする。 (1) $\frac{\diff}{\diff t}(\phi\vec{A})=\frac{\diff\phi}{\diff t}\vec{A}+\phi\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}$ (2) $\frac{\diff}{\diff t}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\frac{\diff\vec{ ...

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec{B}=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 (1) この2つのベクトルの外積が \begin{align*} \vec{A}\times\vec{B}=\left( \begin{array}{ccc} A_yB_z-A_zB_y\\ A_zB_x-A_xB_z\\ A_xB_y-A_yB_x \end{array} \right) ...

問題 地球の質量と平均密度を万有引力の法則を用いて見積もるとする。 地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の重力加速度を$g$、万有引力定数を$G$として 以下の問いに答えよ。 (1) 地球の質量$M_\mathrm{E}$を表せ。 (2) 地球の平均密度$\rho$を表せ。 さらに$R_\mathrm{E}=6.38\times10^6$[$\mathrm{m}$], $g=9.80$[$\mathrm{m/s^2}$], $G=6.67\times10^{-11}$[$\mathrm{N\cd ...

問題 水平面上に質量$m$の物体が置かれている。 水平方向から力$F$を加えて動かそうとしたところ 力が$f_0$を超えたときに動き出した。 (1) 面と物体の間の静止摩擦係数$\mu_0$を求めよ。 (2) 力$F$と摩擦係数$\mu$の関係をグラフで表せ。 解答 $x$軸,$y$軸を設定し、作用する力を書き込むと、 物体に作用する力は、重力$mg$、抗力$R$、加えた力$F$の3つとなる。 $x$軸、$y$軸に合わせて力を分解すると、 となる。 従って、運動方程式は \begin{align*} \b ...

問題 質量を持つ2つの物体の間には万有引力が作用する。 このことから地球の重力$mg$を求めるとする。 (1) 地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の質量を$M_\mathrm{E}$、物体の質量を$m$とし、 地表から物体までの高さ$h$は$R_\mathrm{E}$に比べて極めて小さく、無視できるものとする。 万有引力の法則 \begin{align*} F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \end{align*} から重力加速度$g$を表せ。 (2) $G=6.67\times10 ...

問題 滑らかな水平面上に2つの物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が接触して置かれている。 力$F$を$\mathrm{A}$の側から水平に加えたとする。 2つの物体の質量をそれぞれ$m_\mathrm{A}$,$m_\mathrm{B}$として以下の問いに答えよ。 (1) 物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の加速度$a$を求めよ。 (2) 物体$\mathrm{B}$に加わる力$f$を求めよ。 解答 右側を正に取り、作用する力を書き込むと、 となる。 (1) 運動方 ...

問題 天井に固定された滑車に2つの物体がひもでつながれて運動している。 物体の質量をそれぞれ$m_1$,$m_2$とする。($m_1 < m_2$) 滑車には摩擦がなく、ひもの質量は無視できるとし、 運動中はひもがたるまないとする。 以下の問いに答えよ。 (1) それぞれの物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の加速度$a$を求めよ。 (3) ひもの張力$T$を求めよ。 解答 $m_1 < m_2$より、$m_1$は上昇し、$m_2$は下降すると考えられる。 従って下図のように軸をそれぞれ取り、作用す ...