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問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。 (1) この球の中心からの距離$r \ (\ge R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (2) この球の中心からの距離$r \ (\le R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (3) 球の内外につくる静電場を距離$r$の関数としてグラフを書け。 解答 (1) $r \ (\ge R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。 このとき、閉曲面内の電気 ...

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。 (1) この球の中心からの距離$r \ (\ge R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (2) この球の中心からの距離$r \ (\le R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (3) 球の内外につくる静電場を距離$r$の関数としてグラフを書け。 解答 (1) $r \ (\ge R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。 このとき、閉曲面内の電気量$Q$は ...

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に長い直線上に電荷が分布している。 以下の方法を用いて直線から距離$R$の位置での電場を求めよ。但し、線の太さは無視できるものとする。 (1) クーロンの法則を用いて電場を求めよ。 (2) ガウスの法則を用いて電場を求めよ。 解答 (1) クーロンの法則を適用するために、直線の一部を微小部分$\diff x$を設定する。この微小部分$\diff x$が作る電場を計算し、全区間に対して積分を行うとする。 微小部分$\diff x$の電気量$\di ...

問題 オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理 \begin{eqnarray*} \cos nx + i \sin nx = (\cos x +i\sin x)^n \end{eqnarray*} を導出せよ。 解答 $e^{inx}$を考えると、 \begin{eqnarray*} e^{inx} &=& (e^{ix})^n \\ \\ &=& (\cos x +i\sin x)^n \\ \end{eqnarray*} となる。 一方 \begin{ ...

問題 以下の図に力$\vec{F}$が作用した場合の力のモーメント$\vec{M}$を計算し、力のモーメントの大きさ$|\vec{M}|$を求めよ。但し、棒の質量は無視できるものとする。 (1) 棒の長さ$x, \ $棒と作用する力は直交する場合。 (2) 棒の長さ$x, \ $棒と作用する力のなす角は$\theta$の場合。 (3) 棒の長さ$r, \ $作用する力$\vec{F}$の$x,y$成分を$F_x ,\ F_y $とする場合。 解答 (1) 位置ベクトル$\vec{r}_1$を図のように設定 ...

問題 単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) = A \sin (\omega t) \end{eqnarray*} と表されているとき以下の問に答えよ。 (1) 速度 $v$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (2) 加速度 $a$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (3) 単振動は運動方程式 $\ddot{y}+\omega ^2 y =0$ を満たすことを示せ。 解答 (1) 速度$v$は \begin{eqnarray*} v = \frac{\diff y} ...

問題 質量$m$の物体が長さ$l$の糸につるされている。 この物体の単振り子運動においてエネルギー保存則が成立することを 運動方程式から導け。 解答 極座標で表した運動方程式は糸の張力を$S$とすると \begin{align*} \begin{cases} ml\left(\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)^2=S-mg\cos\theta\\ ml\frac{\diff^2\theta}{\diff t^2}=-mg\sin\theta \end{cases} \en ...

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*} を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。 解答 (1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac ...

問題 単振動の微分方程式 \begin{align*} m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx \end{align*} の解を$x(t)=Ce^{\lambda t}$とおいて解け。 但し、$C,\lambda$は定数とする。 解答 $\omega^2=\frac{k}{m}$とおくと、 \begin{align*} \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x \end{align*} となる。 解である$x(t)=Ce^{\lambda t} ...

問題 質量$m$の物体が長さ$l\ $の糸につるされている。 この物体の単振り子運動について以下の問いに答えよ。 (1) 極座標を考えたとき、$r$方向と$\theta$方向の運動方程式を立てよ。 (2) 振れ角$\theta$が十分に小さいとき$\sin\theta\simeq\theta$が成立する。 $\ \ \ \ \ $この時の運動の周期$T$を求めよ。 (3) 物体を十分小さな角$\theta_0$の地点から$t=0$で運動させたとする。 $\ \ \ \ \ $この運動に置いて振れ角$\th ...