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問題 軽い棒の両端に質量$m$の物体と質量$M$の物体が図の様に取り付けられ、点$o$で糸に吊るされている。 この棒が回転しない条件を以下の問題に沿って答えよ。 (1) 棒に作用する力を書き込め。 (2) 棒の運動方程式を記述せよ。 (3) 棒の回転の運動方程式を記述せよ。 (4) 棒が回転しない条件$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$を求めよ。 解答 (1) 軸の設定は「$x$軸は右向き正」とし「$y$軸は上向き正」とします。 棒に作用する力は、左右の重り「重力$mg$」「重力 ...

問題 摩擦がある斜面を質量$m$の物体が滑り上がる運動を考える。 水平面となす角は$\theta$として以下の問いに答えよ。 但し、動摩擦力は$f=\mu_k N$として用いてよいとする。 斜面に沿って上向きに初速度$v_0$で物体を打ち出したところ、時刻$t_1$で移動距離$L$になり物体は止まった。 (1) この運動中に作用する力を書き込め。 (2) この運動の運動方程式を記述せよ。 (3) 運動方程式の両辺において距離積分を行い、仕事とエネルギーの関係式を導け。 (4) 動摩擦力がした仕事$W_{摩 ...

問題 ある高さから質量$m$の物体を真下に投げ下ろしところ、地表に衝突する瞬間の速度の大きさが$v_1$となった。 (1) この衝突において力$F$が作用したとする。地表に衝突した瞬間の運動を記述せよ。 (2) この衝突において、力$F$は重力$mg$に比べて十分に大きく$F \gg mg$であり、又、衝突は完全弾性衝突であったとする。物体が地表から受けた力積$I$を運動方程式から導け。 解答 (1) 衝突した瞬間に作用する力は、場の力「重力 $mg$」と接触力「地表から受ける力$F$(抗力を含む)」なの ...

運動学と力学の基本的な物理量の定義 運動学とは力学の分野の内で「物体の運動を時間や空間の観点から記述する学問」であり、力などの作用については言及しない分野です。 まずは力学の基本的な物理量である ・位置ベクトル $\vec{r}$ ・速度ベクトル $\vec{v}$ ・加速度ベクトル $\vec{a}$ の定義を確認しておきましょう。 速度ベクトル$\vec{v}$ 位置ベクトル$\vec{r}$を$\vec{r}=(x, y, z)$とすると 「速度ベクトル$\vec{v}$は位置ベクトル$\vec{r ...

問題 運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$からモーメントと角運動量の関係式を導け。 但し、位置ベクトルを$\vec{r}=(x, y, z)$として扱うとする。   解答 運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$の両辺に左側から位置ベクトル$\vec{r}$の外積をとると、 \begin{eqnarray*} m \vec{a} &=& \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec ...

問題 運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$から力積と運動量の関係式を導け。 但し、位置ベクトルを$\vec{r}=(x, y, z)$として扱うとする。 解答 運動方程式は \begin{eqnarray*} m \vec{a} &=& \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F} \\ \\ \frac{\diff }{\diff t} \bigl( m \vec{v} \bigr)&=& \vec{F} \\ \end{ ...

問題 運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$から仕事とエネルギーの関係式を導け。 但し、位置ベクトルを$\vec{r}=(x, y, z)$として扱うとする。 解答 運動方程式は \begin{eqnarray*} m \vec{a} &=& \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F} \end{eqnarray*} と表される。 ここで、両辺に$\diff \vec{r}$の内積を取って積分すると \begin{eqnar ...

問題 図のような$z$軸を中心軸に持つ半径$R$のリング状に線密度$\rho$で電荷が一様に分布している。 線の太さは無視できるものとして、以下の問いに答えよ。 (1) OPの距離を$z$とすると、点Pでの電場の大きさを求めよ。 (2) OPの距離を$z$とすると、点Pでの電位の大きさを求めよ。 但し、電位の基準は無限遠とする。 解答 (1) クーロンの法則を適用するために、リングの一部を微小部分$\diff s$と設定する。この微小部分$\diff s$が作る電場$\diff E$を計算し、全区間に対し ...

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \end{eqnarray*} で定義される。 以下の問いに答えよ。 (1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。 (2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。 (3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。 (4 ...

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\displaystyle \left( \frac{\partial Z}{\partial X} \right)_Y = \left( \frac{\partial X}{\partial Z} \right)^{-1}_Y$ (2) $\displaystyle \left( \frac{\partial X}{\partial Y} \right)_Z \left( \frac{\partial Y}{\partial Z} \right)_X \left ...