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問題 図のようなRC回路を考える。スイッチを入れる前にコンデンサーに電荷は蓄えられていないものとする。時刻$t=0$でスイッチを入れたとして以下の問いに答えよ。 (1) この回路の回路方程式を記述せよ。ある時刻$t$におけるコンデンサーの電荷を$Q(t)$としてよい。 (2) 時計回りの向きを正として、$t=0$における電流$I(0)$を求めよ。 (3) 十分に時間が経った後のコンデンサーの電荷$Q(\infty)$を求めよ。 (4) $Q-t$グラフを描け。また、$Q-t$グラフの原点での傾きを求めよ。 ...

問題 単位長さ当たりの巻き数が$n$である無限長ソレノイドコイルが作る磁場について以下の問いに答えよ。 (1) 中心軸上の磁場$B_{z_n}$を求めよ。 解答 円形電流が作る磁場の結果より円形電流の中心軸上に作られる磁場の大きさ$B_z$は \begin{eqnarray*} B_z &=& \frac{\mu_0 I}{2} \frac{a^2}{(a^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} である。この円形電流が重なってソレノイドコイルが形成されると考えると ...

問題 半径$a$の円形電流に時計回りの電流$\vec{I}$が流れている。 この円形電流が作る磁場について以下の問いに答えよ。 (1) 半径$a$の円形電流が中心軸上に作る磁場$B_z$を求めよ。 (2) 半径$a$の円形電流が中心点$o$に作る磁場$B_{z_0}$を求めよ。 解答 (1) 円形電流の微小部分$\diff \vec{s}$を設定し、この微小部分が中心軸上の中心から距離$z$離れた位置に作る磁場を考える。 ベクトル部分を抜き出すと下図のようになる。 ビオーサバールの法則より、 \begin ...

問題 無限に長い直線電流が作る磁場を求めよ。 解答 ビオーサバールの法則より電流の微小部分(電流素片)$I \diff \vec{s}$が点Pの位置に作る磁場$d \vec{B}$は \begin{eqnarray*} \diff \vec{B} = \frac{\mu_0 }{4\pi} \frac{I \diff \vec{s} \times \vec{r}}{r^3} \end{eqnarray*} と表されるので、 直線電流の微小部分が作る電流から距離$R$の位置の磁場の大きさ$\diff B$は ...

問題 半径$R_0$の円盤に一様な面密度$\sigma$で電荷が帯電している。 以下の問いに答えよ。 (1) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電位$\phi(z)$を求めよ。 (2) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電場$E_z$を求めよ。 解答 図のように円盤の中心から半径$R\ (\le R_0)$の場所に幅$\diff R$の微小リングを考える。 半径$R$の微小リングが持つ電荷$\diff Q$は \begin{eqnarray*} \diff Q = 2\pi R \ ...

問題 水平面となす角$\theta$の滑らかな斜面に質量$m$の物体を置いた。斜面を左向きに水平加速度$\alpha$で動かしたところ、物体は斜面を上り始めた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面上を長さ$L$移動するのにかかる時間$t_1$を求めよ。 解答 (1) 動く斜面に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。( ...

問題 電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を初速度$v_0$で床から鉛直に投げ上げた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 速度$v_x(t), v_y(t)$及び位置$x(t), y(t)$を表せ。 (3) 再び床に戻ったときの位置を求めよ。 解答 (1) 電車内に座標軸を設定すると物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と慣性力「$m\alpha$」となる。 従って、運動方程式は \begin{eqnarray*} m ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。 以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体が斜面を滑り出さない為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。 解答 (1)(2) 斜面の加速度$\alpha$は小さすぎると物体は斜面に沿って滑り降り、大きすぎれば斜面に沿って滑り上がる。従って、上限と下限を探る必 ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。 以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体が斜面を滑り出す為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。 解答 (1) 物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m\alpha$」なり、斜面に固定された座標軸$x, y$ ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の質量$M$の滑らかな斜面に、質量$m$の物体を置いたところ、物体は滑り降り、斜面は左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動き出した。以下の問いに答えよ。 (1) 斜面と物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面の加速度$\alpha$を求めよ。 (3) 斜面上の物体の速度$v_x(t)$を求めよ。 (4) 斜面上の物体の位置$x(t)$を求めよ。 (5) 斜面上を長さ$L$だけ進むのにかかる時間$t_1$を求めよ。 解答 (1) 斜面については作用する力は ...