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問題 半径 $a$ の無限に長い円筒に定常電流 $i$ が流れているとする。以下の問いに答えよ。ただし、円筒の中心軸を $z$ 軸とする。 (1) 円筒の外側、中心軸からの距離 $r$ が $r > a$ の位置での磁場 $B$ を求めよ。 (2) 円筒の内側、中心軸からの距離 $r$ が $r < a$ の位置での磁場 $B$ を求めよ。 (3) 磁場 $B(r)$ のグラフを描け。 解答 アンペールの法則 \begin{eqnarray*} \oint_C \vec{B} \cdot \diff \v ...

問題 真空中に半径 $a$ の金属球があり、電気量 $q$（$q > 0$）が帯電しているとする。以下の問いに答えよ。ただし、真空中の静電エネルギー密度は電場 $E$ を用いて次式で表されるものとする。 \begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \end{eqnarray*} (1) 金属球の中心から$r\ (r>a)$の位置における電場$E$を求めよ。 (2) 金属球の中心から$r\ (r>a)$の位置における静電エネルギー密度$u(r)$を求め ...

問題 $z$ 軸を中心軸とし、内側の半径が $a$、外側の半径が $b$ である金属製の筒を用いて、同軸円筒型コンデンサーを考える。ただし、$a < b$ とする。 (1) 2つの筒に電位差 $V$ を与えたとき、単位長さ当たりの電荷 $\rho$ を求めよ。 (2) このコンデンサーの単位長さ当たりの静電容量 $C_L$ を求めよ。 解答 (1) ガウスの法則は \begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\vareps ...

問題 無限に長い半径 $a$ の円柱の表面に、単位長さ当たり $\sigma$ の電荷が帯電しているとする。以下の問いに答えよ。ただし、円柱表面での電位を $\phi_0$ とする。 (1) 電場 $E$ を、円柱の中心からの距離 $r$ の関数として求めよ。 (2) 電位 $\phi$ を、円柱の中心からの距離 $r$ の関数として求めよ。 解答 (1) ガウスの法則は \begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\va ...

問題 図のように、2本の長さ$L$の糸に質量$m$、電荷$q$を持つ十分に小さな球がそれぞれ吊るされ、静止している。以下の問いに答えよ。ただし、角度$\theta$は十分に小さいものとする。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 2つの球の間隔$x$を求めよ。 (1) 物体に作用する力は場の力「重力$mg$」「クーロン力$F_C$」と接触力「張力$T$」となり、右側の小球に着目し座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図の様になる。 運動方程式は \begin{eqnarray*} ma_x &=& F ...

問題 無限に長い直線電流$\vec{I}$が作る磁場を求めよ。 解答 アンペールの法則を適用する閉曲面$S$を電流$\vec{I}$が中心を通る半径$R$の円に設定すると アンペールの法則 \begin{eqnarray*} \oint_C \vec{B} \cdot \diff \vec{s} &=& \mu_0 \int_S \vec{i} \cdot \diff\vec{S} \\ \\ \mbox{閉曲面$S$の縁$C$に沿っての磁場の線積分} &=& \mu_0 \times \mbox{閉曲面 ...

問題 一様な電場 $\vec{E}$ が存在する空間に、電荷がそれぞれ $\pm q$ である電気双極子を置いたとする。以下の問いに答えよ。ただし、2つの電荷の間の距離は $d$ とする。 (1) 電気双極子が受ける力のモーメント$\vec{M}$を求めよ。 (2) 電気双極子が受ける力のモーメント$\vec{M}$を外積を用いて表せ。 解答 図の様に電場の向きと$x$軸が一致するように座標軸$x,y$を設定する。 (1) 電気双極子の2つの電荷の中央を支点にし、それぞれの電荷に作用する力のモーメントは ...

問題 $z$軸方向に一様な磁場$\vec{B}$がある。この磁場内で運動する荷電粒子について論ぜよ。但し、荷電粒子の質量$m$、電荷を$q$とする。 解答 一様な磁場内$\vec{B}$で運動する荷電粒子に作用する力はローレンツ力が作用するので運動方程式は \begin{eqnarray*} m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \end{eqnarray*} と表される。 成分で表すと \begin{eqnarray*} ...

問題 電流が周期的に変動し$I(t) = I_0 \sin (2\pi ft)$で与えられるとする。 以下の問いに答えよ。 (1) 抵抗$R$に流したときの平均仕事率$\bar{P}$を求めよ。 (2) この回路の平均電流を求めよ。 解答 (1) 仕事率$P$は \begin{eqnarray*} P =I^2 R &=& \biggl[I_0 \sin(2\pi f t)\biggr]^2 R \\ \\ &=& I_0^2 R \sin^2(2\pi ft) \end{eqnarray*} と表される ...

問題 $z$軸上に点電荷$\pm Q$が距離$d$離れて置かれている。この距離$d$の中心を原点として以下の問いに答えよ。但し$d \ll r$とする。 (1) 点P$(x,y,z)$においてこの2つの電荷が作る電位$\phi$を求めよ。 (2) 点P$(x,y,z)$においこの2つの電荷が作る電場$E$を求めよ。 解答 (1) それぞれの電荷が作る電位は \begin{eqnarray*} \phi(r_+) &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt ...