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解答 水平面となす角$\theta$の滑らかな斜面に質量$m$の物体を置いた。斜面を左向きに水平加速度$\alpha$で動かしたところ、物体は斜面上で静止していた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面の加速度$\alpha$を求めよ。 解答 (1) 動く斜面に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。(注: 斜面は滑らか ...

問題 電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を天井から吊るしたところ、物体は鉛直線となす角度$\theta_0$を保っている。以下の問いに答えよ。 (1) 慣性系における物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 車内に固定された座標系における物体の運動方程式を記述せよ。 (3) $\tan \theta_0$を表せ。 (4) 糸の張力$T$を求めよ。 解答 (1) 慣性系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「糸の張力$T$」となり、座標 ...

問題 質量$M$のエレベータの内部で、質量$m$の物体が床から高さ$h$の位置に、軽い糸で天井から吊るされている。エレベータは鉛直上向きに一定の力$F$で引かれて上昇している。以下の問いに答えよ。 (1) エレベータと物体の運動方程式をそれぞれ記述せよ。 (2) 糸の張力$T$を求めよ。 (3) エレベータの加速度$\alpha$を求めよ 運動中に糸を切ったとする。糸を切った瞬間を$t=0$とし、時刻$t_1$に物体が床に達したとする。 (4) 切った後の物体の速度$v_x(t)$と位置$x(t)$を求め ...

問題 一定の加速度$\alpha$で上昇するエレベータがある。 このエレベータ内で、質量$m$の物体を初速度$v_0$で鉛直上方に投げ上げた。投げ上げた瞬間を$t=0$とし、その位置を原点とすると、時刻$t_1$に再び原点に戻ってきた。 以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。 (3) 物体の位置$x(t)$を求めよ。 (4) エレベーターの加速度$\alpha$を求めよ。 解答 (1) 座標軸をエレベータ内に上向き正に設定します。 物体に作用す ...

問題 軽いバネの一端を天井に固定して吊り下げた。このとき、バネの下端を原点とする。バネの下端に質量$m$の物体を取り付け、静止させた位置を$x_0$とする。物体をさらに$x_1$の位置まで引き下げ、静かに放して振動させた。物体を放した瞬間を$t=0$とする。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。 (3) 物体の位置$x(t)$を求めよ。 解答 (1) 物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「ばねの弾性力$kx$」なので運動方程式は \ ...

問題 質量$m$の雨滴が落下する運動を考える。このとき、速度に比例する空気抵抗が働き、その大きさを$kv$とする。以下の問いに答えよ。但し、初期条件$v(0)=0$とする。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 速度$v(t)$を求めよ。 (3) $v-t$グラフを描け。また原点での傾きを求めよ。 (4) 十分に時間が経過した状態の速度(終端速度)を求めよ。 解答 (1) 雨滴に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「空気抵抗力$kv$」になります。 従って、運動方程式は \begin{eqnarr ...

問題 質点が単振動している。1周期についての運動エネルギーの平均値$\bar{K}$と弾性力による位置エネルギーの平均値$\bar{U}$を求め、これらが等しいことを示せ。 解答 図のような単振動のモデルを考えた場合、 運動方程式は \begin{eqnarray*} m \frac{\diff v}{\diff t} =-kx \end{eqnarray*} となる。 両辺を$x$で積分すると、 \begin{eqnarray*} \int m\frac{\diff v}{\diff t}\diff x ...

問題 質量$m$の物体が長さ$L$の糸で吊るされている。物体を鉛直線を基準に振れ角$\theta_0$で静かに手放した。この時の鉛直線からの距離を$A_0$とする。 以下の問いに答えよ。但し、振れ角$\theta_0$は十分に小さく、$A_0 \ll L$とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の運動を単振り子とみなしたとき、周期$T$、振幅$A$を求めよ。 (3) 物体を手放した時刻を$t=0$として、最下点を初めて通過する時刻$t_1$を求めよ。 (4) 物体の位置$x(t)$を$ ...

問題 図のように、円の一部を軌道として運動するモデルを考える。 物体を糸の水平状態(点A)にして放し、円運動させ、点B(最下点)を通過し、点Cまで達した。運動中、糸は弛まず質量は無視できるほど軽いとする。 糸の長さ$l$、物体の質量$m$として以下の問いに答えよ。但し、重力加速度は$g$とする。 又、ある時刻$t$での糸と鉛直線のなす角を$\theta$として用いてよいとする。 (1) $r$方向、$\theta$方向の加速度を$a_r, a_\theta$としたとき、それぞれの方向の運動方程式を記述せよ ...

問題 単振動の一般解$x(t)=A \sin (\omega t + \phi)$において 以下の初期条件を満たすような関数$x(t)$を求めよ。 但し、$x_0, v_0$は定数とする。 (1) $x(0)=0 , \ v(0)=v_0$ (2) $x(0)=x_0 , \ v(0)=0$ (3) $x(0)=x_0 , \ v(0)=v_0$ (4) $x(t_1)=x_0 , \ v(t_1)=0$ 解答 単振動の一般解 \begin{eqnarray*} x(t)=A \sin (\omega t ...