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問題 粗い水平面上に置かれた質量$m$の物体がある。 この物体に初速度$v_0$を与えて動かしたら距離$L$だけ移動して静止した。 動摩擦係数を$\mu'$としたとき移動距離$L$を求めよ。 解答 $x$軸、$y$軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと、 物体が運動している間に作用する力は、重力$mg$、抗力$R$の 2つとなります。 $x, y$軸に合わせて力を分解すると となります。 従って、運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=-f\\ ma_y=N-m ...

問題 質量$m$の質点が初速度$v_0$で投げ出される運動を考える。 鉛直方向に投げた場合の最高点と、斜方に投げ出された場合の水平到達距離が 等しくなるための方向を求めよ。 解答 2つの運動の組み合わせの問題である。 それぞれの運動について考えればよい。 まずは鉛直投げ上げにおいて作図し、作用する力を書き込むと 作用する力は重力$mg$のみである。 従って、運動方程式は \begin{align*} ma_y&=-mg\\ m\frac{\diff v_y}{\diff t}&=-mg \end{alig ...

問題 なめらかな水平面上に壁からばねが取り付けれられている。 ばねは自然長の状態で静止しているとする。 $t=0$で初速度$v_0$を壁向きに与えると、物体は単振動した。 物体の質量を$m$、ばね定数を$k$として以下の問いに答えよ。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。 (3) 物体の変位$x(t)$を求めよ。 (4) 物体の加速度$a(t)$を求めよ。 (5) $v(t), x(t), a(t)$のグラフを横軸$t$として描け。 解答 (1) 物体に作用する力は$x ...

問題 水平面上に置かれた粗い板があり、質量$m$の物体が置かれている。 この板を左端$O$を支点として斜面の角度を変化させたとする。 静止摩擦係数を$\mu$としたとき、摩擦角$\theta_0$を表せ。 解答 斜面に平行な軸を$x$、斜面に垂直な軸を$y$とし、 物体に作用する力を書き込むと、 物体に作用する力は重力$mg$、抗力$R$となる。 $x$軸、$y$軸に合わせて力を分解すると、 運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=mg\sin\theta-f\\ ...

問題 粗い水平面上に置かれた質量$m$の物体に水平と$\alpha$の角をなす方向から 力$F$を加えたとする。物体が滑り出さないための力$F$の条件を求めよ。 但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。 解答 $x,y$軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと 物体に作用する力は重力$mg$、抗力$R$、加える力$F$となる。 $x,y$軸に合わせて力を分解すると 運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=F\cos\alpha-f\\ ma_y=N-mg-F\sin ...

問題 ある関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は \begin{align*} f'(x)=\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align*} で定義される。 次の関数$f(x)$の導関数$f'(x)$を定義から計算せよ。 (1) $f(x)=2x$ (2) $f(x)=x^n$ (3) $f(x)=\sin x$ (4) $f(x)=\cos x$ 解答 (1) \begin{align*} f'(x)& ...

問題 滑らかな水平面上にばねと物体が図のように設置されている。 物体の質量を$m$、ばね定数を$k$とする。 この物体が単振動する時、エネルギー保存則が成立することを運動方程式から導け。 解答 物体に作用する力は ばねの復元力の大きさ$kx$のみである。 従って運動方程式は \begin{align*} m\frac{\diff v}{\diff t}=-kx \end{align*} となる。 両辺を$x$で積分すると \begin{align*} \int m\frac{\diff v}{\diff ...

問題 水平面をなす角$\theta$の粗い斜面上の点$\mathrm{A}$から物体を初速$v_0$で斜面に沿って下向きに 打ち出した。物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、動摩擦係数を$\mu_k$とする。 点$\mathrm{A}$から距離$L$だけ進んだ点$\mathrm{B}$において以下の問いに答えよ。 (1) 重力がした仕事を求めよ。 (2) 垂直抗力がした仕事を求めよ。 (3) 動摩擦力がした仕事を求めよ。 (4) 点$\mathrm{B}$における速度$v_1$を求めよ。 解答 この運動 ...

問題 理想気体の状態方程式は \begin{align*} pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)} \end{align*} と表される。 このとき \begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align* ...

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \vec A&=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec B&=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 この2つのベクトルの内積が \begin{align*} \vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \end{align*} となることを示せ。 解答 $x$軸, $y$軸, $z$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ$\vec i$, $\vec j$, $ ...