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問題 次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin x$ (2) $f(x)=\cos x$ (3) $f(x)=e^x$ 解答 関数$f(x)$のマクローリン展開は \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*} で与えられる。 (1) \begin{align*} f(0)&=\sin0=0\\ f'(0)&=\cos0=1\\ f''(0)&=-\sin0= ...

問題 密度が一様でない棒の質量を考える。 この棒の線密度$\rho(x)$が \begin{align*} \rho(x)=\rho_0+\rho_1x \end{align*} で表され、全長が$l$のときこの棒の質量を求めよ。 解答 図に表すと となる。 微笑部分の質量$\diff M$は \begin{align*} \diff M=\rho(x)\diff x \end{align*} と表せる。 よって全質量$M$は \begin{align*} M&=\int_{0}^{l}\rho(x)\d ...

問題 半径$r$の円がある。その半径を微笑量$\diff r$ $(\diff r\ll r)$だけ変化させたとき、 円の面積の変化$\diff S$はどれだけになるか計算せよ。 解答 円の面積$S$は \begin{align*} S=\pi r^2 \end{align*} である。 $r$が$\diff r$だけ変化したときのSの変化$\diff S$は \begin{align*} \diff S&=\frac{\diff S}{\diff r}\cdot\diff r\\ &=\frac{\di ...

問題 風船に空気を入れ、膨らませる場合の変化について考える。 風船に毎秒$v_0$の割合で吹きこむとする。 $t=0$で半径$r$は$0$であるとし、スタートした瞬間から半径$r$の球となって 膨らむものとする。 半径の増加率$\dfrac{\diff r}{\diff t}$を求めよ。 解答 時刻$t$のとき$v_0t$の空気が入っているので、その半径を$r$とすると \begin{align*} \frac{4\pi}{3}r^3=v_0t \end{align*} である。 よって半径$r$について ...

問題 質点が原点を中心に半径$r$、角速度$\omega$の等速円運動を行っている。 この運動の加速度ベクトルは \begin{align*} \vec{a}=-\omega^2\vec r \end{align*} と表されることを示せ。 解答 作図をすると ある時刻$t$における角度を$\theta$とすると \begin{align*} \theta=\omega t+\alpha \qquad（\alpha \mbox{はある定数）} \end{align*} と表される。 位置$x$, $y$は ...

問題 ヤングの実験を考える。 図のように、平行な2つの幅の狭いスリット$\mathrm{S}_1$, $\mathrm{S}_2$に垂直に光を当てると、 スリットに平行なスクリーン上に明暗の干渉縞が映し出される。 2つのスリットの間隔を$2d$、スクリーンとスリットの距離を$l$とする。 スリットの中点を$\mathrm{M}$、点$\mathrm{M}$からスクリーンへ垂線$\mathrm{M}\mathrm{O}$を引き、 スクリーン上の点$\mathrm{O}$を原点とする。 スクリーン上の位置$x ...

問題 質量$m$の物体を自由落下させることを考える。 鉛直下向きを正の向きにとり高さ$z$を測ると、物体の持つ全エネルギーは \begin{align*} E=\frac{1}{2}mv^2-mgz \end{align*} と書ける。 $t=0$で$z=0$にあり、全エネルギーが保存されることを用いて 高さ$z(t)$を求めよ。 但し、$v$は速度、$g$は重力加速度を表しているとする。 解答 全エネルギー$E$を変形すると \begin{align*} E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\ ...

問題 関数$f(x)=(1+x)^\alpha$（$\alpha$は実数）について (1) べき級数展開を求めよ。 (2) $|x|\ll$のとき、$f(x)$の$x$に関する2次の項までの近似式を求めよ。 解答 (1) 関数$f(x)$のべき級数展開は \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*} で与えられる。 ここで \begin{align*} f(0)&=(1+0)^\alpha=1\\ ...

問題 質量が等しい2つの質点A, Bがある。 静止しているBに速度$v_0$でAが衝突し、その後、図のようになす角$\alpha$, $\beta$で、 速度$v$, $V$でそれぞれ運動した。 この衝突は弾性衝突であり、衝突の前後で運動エネルギーは不変であるとする。 (1) 角$\alpha+\beta$を求めよ。 (2) 速度比$\dfrac{v}{V}$を$\beta$を用いて表せ。 解答 (1) 運動量保存則より \begin{align*} m\vec{v_0}=m\vec{v}+m\vec{V ...

問題 2球の正面衝突を考える。 この衝突において運動量が保持することを運動方程式を用いて示せ。 解答 2球が衝突した瞬間は逆向きの同じ大きさの力が働くので 図に表すと となる。 従って、A,Bそれぞれの運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} \dfrac{\diff p_\mathrm{A}}{\diff t}&=-F\\[2ex] \dfrac{\diff p_\mathrm{B}}{\diff t}&=F \end{cases} \end{align*} と表すことがで ...