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ここまでで、力学のモデルを考える上での基本的なルートが出揃いました。 まずは手順に従って運動方程式を立てます。 これまでの講義からも分かるように、運動方程式を軸に考えていくことが重要になります。 運動方程式を立てる 1. 作図をする 力学の問題を考えるとき、最初に行うべきことは **図を描くこと** です。 問題文だけを読んで式を立てようとすると、力の向きや物体の運動方向を見落としやすくなります。 まずは、物体の位置関係や運動の様子が分かるように、簡単な図を描きます。 たとえば、斜面上を運動する物体であれ ...

運動方程式から「モーメントと角運動量の関係式」の導出 ここでは「モーメントと角運動量の関係」を解説していきます。 この関係式ではベクトルの外積を用いるので、物理数学の確認をしておくと良いでしょう。 3次元空間でのモデルを考えてみましょう。 運動方程式は $$ \begin{aligned} m \vec{a} &= \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{F} \end{aligned} $$ となります。 この運動方程式の両辺に対して「左 ...

運動方程式から「力積と運動量の関係式」の導出 ここでは「力積と運動量の関係」を解説していきます。 3次元空間での一般的なモデルを考えてみましょう。 運動方程式は $$ \begin{aligned} m \vec{a} &= \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{F} \end{aligned} $$ となります。 ここで、質量 $m$ が一定なら、左辺を積の微分としてまとめて $$ \begin{aligned} \frac{\diff ...

次は実際のモデルとして「自由落下」と「おもりを持ち上げる運動」を解説します。 自由落下のモデル 質量 $m$ の物体が自由落下するモデルを考える。 「下向きを正」に軸を設定すると運動方程式は $$ \begin{aligned} ma &=mg \\ \\ m \frac{\diff v}{\diff t} &=mg \end{aligned} $$ となります。(ここまでの手順は前述(内部link)を参照) この運動方程式の両辺を $\diff x$ で積分し $\diff x = v \diff t ...

仕事の定義 一般的に使われている用語としての「仕事」とは異なり、物理では「力がする働き」を「仕事」と言います。詳しく言うと、「物体に力を加えて物体を移動させること」を「仕事」とします。 従って、「力 $\vec{F}$」と「変位 $\vec{x}$」が重要になります。 図の様に直線上の物体に力 $\vec{F}$ を加えて変位 $\vec{x}$ させたとします。 この場合 (力と変位が同一直線上の場合) の仕事 $W$ は $$ \begin{aligned} W =|\vec{F}||\vec{x}| ...

ここから$3$つの「運動方程式から導かれる関係」について解説していきます。 この$3$ 種類の関係式を学び終わった後、運動方程式がいかに力学の中心に位置しているかを実感できるはずです。改めて「力学は運動方程式である」と感じることと思います。(とは言え、「解析力学」になるとエネルギーが主軸に移行します) 物体の運動状態の「量的な大きさ」を表す物理量 $K,\vec{p},\vec{L}$ ニュートンの運動方程式 $$ \begin{aligned} m \vec{a} = \vec{F} \end{alig ...

慣性力が作用するモデル ここでは「慣性力」の扱い方について扱います。 「慣性力」を扱う場合は軸の設定に注意が必要になります。 「乗り物の内 (並進座標系)」と「乗り物の外 (慣性座標系)」の$2$つの座標系について考えます。 「静止している座標系 (慣性座標系)」を「座標 $1$ (図の黒)」とし、「慣性系に対して動いている (加速度運動 $\vec{a}$ )座標系 (並進座標系) 」を「座標 $2$ (図の青)」と設定します。 「慣性座標系」とは、等速直線運動をしている座標系を含む、ニュートンの運動方 ...

接している面から受ける抗力 $R$ について 「抗力 $R$ 」は「接している面から受ける力」になります。 「抗力 $R$ 」の正体は「分子間力 (電気的な力)」です。 分子や原子の一つ一つの力を「まとめて抗力 $R$ 」として表しています。 「抗力 $R$ 」の鉛直線からの傾きは「水平方向から受ける力(の合力)」によって変化します。 接触面において水平方向の変形が生じるため、分子間反発力の合力が傾くことになります。 左側から力を受けると図のように物体と床の接触面がせん断変形により反発が大きくなり左に傾き ...

自由落下 それでは「自由落下」のモデルについて手順通りやってみましょう。 まず、モデル図を描く 物体の形は「〇」でも「□」でもいいです。実際の計算は「質点」として扱うので図での大きさは適当でも問題は無いです。 「質点」とは「質量を$1$点に集中させたもの(通常は重心)」として扱うということです。 続いて「軸の設定」になります。 「自由落下」は下に落ちるので「進行方向を正に設定」し、 $t=0$ で $x=0$ としてみましょう。 さらに、「作用する力の矢印」を書き込みましょう。 力を探す順は「場の力 $\ ...

力学の問題を考える手順 「力学の問題を考える手順」について 原則として、この手順に従ってモデルを理解していくことになります。 段々慣れてくると「また、この流れか」なんて感じることでしょう。 しかし、毎回同じ流れで考えるので身につきます。 では手順について見てみましょう。 左側の赤枠は作業の流れが書いてあります。 ① 作図 ② 軸の設定 ③ 力の矢印 ④ 運動方程式 の順で作業を進めていきます。 それでは、順に詳しく説明していきます。 ① 作図をする この作業はとても重要です。 力学が苦手な人の多くは「作図 ...