加法定理

2020/2/11

オイラーの公式と加法定理

問題 (1) オイラーの公式

$\begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*}$ を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。解答 (1)

$e^{ix}$ をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac ...

基礎数学物理数学

2024/8/30

加法定理を図で示す　三角関数の重要公式である「加法定理」は $\sin$ と $\cos$ の組み合わせで、間違えて覚えてしまうこともあるだろう。加法定理の証明はいくつかあるが、ここでは図で見て視覚的に理解をしておこう。　まず、角度 $\beta$ を持つ斜辺が $1$ の直角三角形を考える。この直角三角形を角度 $\alpha$ だけ反時計回りに回転させる。そして、底辺と高さと上部を書き加える。斜辺が $1$ なので底辺と高さは $\cos \beta$ と $\sin \beta$ である。回転角 $\alpha$ は図より、上 ...