変数分離

2024/9/7

雨滴の落下

問題質量 $m$ の雨滴が落下する運動を考える。このとき、速度に比例する空気抵抗が働き、その大きさを $kv$ とする。以下の問いに答えよ。但し、初期条件 $v(0)=0$ とする。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 速度 $v(t)$ を求めよ。 (3) $v-t$ グラフを描け。また原点での傾きを求めよ。 (4) 十分に時間が経過した状態の速度(終端速度)を求めよ。解答 (1) 雨滴に作用する力は場の力「重力 $mg$ 」と接触力「空気抵抗力 $kv$ 」になります。従って、運動方程式は \begin{eqnarr ...

微分方程式物理数学

2020/2/11

微分方程式～自由落下

問題質量 $m$ の物体を自由落下させることを考える。鉛直下向きを正の向きにとり高さ $z$ を測ると、物体の持つ全エネルギーは

$\begin{align*} E=\frac{1}{2}mv^2-mgz \end{align*}$ と書ける。

$t=0$ で

$z=0$ にあり、全エネルギーが保存されることを用いて高さ

$z(t)$ を求めよ。但し、

$v$ は速度、

$g$ は重力加速度を表しているとする。解答全エネルギー

$E$ を変形すると \begin{align*} E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\ ...