問題
単振動の一般解$x(t)=A \sin (\omega t + \phi)$において
以下の初期条件を満たすような関数$x(t)$を求めよ。
但し、$x_0, v_0$は定数とする。
(1) $x(0)=0 , \ v(0)=v_0$
(2) $x(0)=x_0 , \ v(0)=0$
(3) $x(0)=x_0 , \ v(0)=v_0$
(4) $x(t_1)=x_0 , \ v(t_1)=0$
解答
単振動の一般解
\begin{eqnarray*}
x(t)=A \sin (\omega t + \phi)
\end{eqnarray*}
より、速度$v(t)$は
\begin{eqnarray*}
v(t)=\frac{\diff x(t)}{\diff t} &=&\frac{\diff}{\diff t} \bigl[ A \sin (\omega t + \phi) \bigr] \\
\\
&=& A \omega \cos (\omega t + \phi)
\end{eqnarray*}
と表される。
この2式を利用して関数を決定する。
(1)
位置$x(t)$について$x(0)=0$より
\begin{eqnarray*}
x(0)=A \sin (\omega \cdot 0 + \phi) &=& 0 \\
\\
A \sin \phi &=& 0
\end{eqnarray*}
となる。$A \ne 0$なので
\begin{eqnarray*}
\sin \phi &=& 0 \\
\\
\phi &=& 0
\end{eqnarray*}
一方、速度$v(t)$については$v(0)=v_0$より
\begin{eqnarray*}
v(0)=A \omega \cos (\omega \cdot 0 + 0) &=& v_0 \\
\\
A \omega \cos 0 &=& v_0 \\
\\
A \omega &=& v_0
\end{eqnarray*}
となる。$\omega \ne 0$なので
\begin{eqnarray*}
A &=& \frac{v_0}{\omega}
\end{eqnarray*}
となる。
従って、位置$x(t)$の関数は
\begin{eqnarray*}
x(t)=\frac{v_0}{\omega} \sin \omega t
\end{eqnarray*}
となる。
(2)
速度$v(t)$について$v(0)=0$より
\begin{eqnarray*}
v(0)=A \omega \cos (\omega \cdot 0 + \phi) &=& 0 \\
\\
A \omega \cos \phi &=& 0
\end{eqnarray*}
となる。$A \ne 0 ,\omega \ne 0$なので
\begin{eqnarray*}
\cos \phi &=& 0 \\
\\
\phi &=& \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
一方、位置$x(t)$については$x(0)=x_0$より
\begin{eqnarray*}
x(0)=A \sin \bigl(\omega \cdot 0 + \frac{\pi}{2}\bigr) &=& x_0 \\
\\
A \sin \frac{\pi}{2} &=& x_0 \\
\\
A &=& x_0
\end{eqnarray*}
となる。
従って、位置$x(t)$の関数は
\begin{eqnarray*}
x(t) &=& x_0 \sin \bigl(\omega t + \frac{\pi}{2}\bigr) \\
\\
&=& x_0 \cos \omega t \\
\end{eqnarray*}
となる。
(3)
位置$x(t)$について$x(0)=x_0$より
\begin{eqnarray*}
x(0)=A \sin (\omega \cdot 0 + \phi) &=& x_0 \\
\\
A \sin \phi &=& x_0
\end{eqnarray*}
となる。
一方、速度$v(t)$については$v(0)=v_0$より
\begin{eqnarray*}
v(0)=A \omega \cos (\omega \cdot 0 + \phi) &=& v_0 \\
\\
A \omega \cos \phi &=& v_0 \\
\end{eqnarray*}
となる。
ここで、$A \ne 0 ,\omega \ne 0$としてこの2つの結果の比をとると、
\begin{eqnarray*}
\frac{A \sin \phi}{A \omega \cos \phi} &=& \frac{x_0}{v_0} \\
\\
\frac{\sin \phi}{\cos \phi} &=& \frac{\omega x_0}{v_0}
\end{eqnarray*}
となるので、$\phi$は
\begin{eqnarray*}
\tan \phi &=&\frac{\omega x_0}{v_0} \\
\\
\phi &=& \tan^{-1} \bigl( \frac{\omega x_0}{v_0} \bigr)
\end{eqnarray*}
となる。
一方、前の結果$A \sin \phi =x_0 , A \cos \phi = \displaystyle \frac{v_0}{\omega}$を2乗して和をとると
\begin{eqnarray*}
(A \sin \phi)^2 + (A \cos \phi)^2 &=& x_0^2 + \bigl( \frac{v_0}{\omega} \bigr)^2 \\
\\
A^2 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) &=& x_0^2 + \bigl( \frac{v_0}{\omega} \bigr)^2 \\
\\
A^2 &=& x_0^2 + \bigl( \frac{v_0}{\omega} \bigr)^2 \\
\\
A &=& \sqrt{x_0^2 + \bigl( \frac{v_0}{\omega} \bigr)^2} \\
\end{eqnarray*}
となる。
従って、位置$x(t)$の関数は
\begin{eqnarray*}
x(t)=\sqrt{x_0^2 + \bigl( \frac{v_0}{\omega} \bigr)^2} \sin \bigl(\omega t + \tan^{-1} \frac{\omega x_0}{v_0} \bigr)
\end{eqnarray*}
となる。
(4)
速度$v(t)$について$v(t_1)=0$より
\begin{eqnarray*}
v(t_1)=A \omega \cos (\omega t_1 + \phi) &=& 0 \\
\end{eqnarray*}
となる。$A \ne 0 ,\omega \ne 0$なので
\begin{eqnarray*}
\cos (\omega t_1 + \phi) &=& 0 \\
\\
\omega t_1 + \phi &=& \frac{\pi}{2} \\
\\
\phi &=& \frac{\pi}{2} - \omega t_1
\end{eqnarray*}
一方、位置$x(t)$については$x(t_1)=x_0$より
\begin{eqnarray*}
x(t_1)=A \sin (\omega t_1 + \phi ) &=& x_0 \\
\\
A \sin \bigl(\omega t_1 + \frac{\pi}{2} - \omega t_1 \bigr) &=& x_0 \\
\\
A \sin \frac{\pi}{2} &=& x_0 \\
\\
A &=& x_0
\end{eqnarray*}
となる。
従って、位置$x(t)$の関数は
\begin{eqnarray*}
x(t) &=& x_0 \sin \bigl(\omega t + \frac{\pi}{2} - \omega t_1\bigr) \\
\\
&=& x_0 \sin \bigl(\omega t - \omega t_1 + \frac{\pi}{2}\bigr) \\
\\
&=& x_0 \cos \omega (t-t_1) \\
\end{eqnarray*}
となる。
point
条件が$0$になる方を先に求めること上手くいくことが多い。