問題
滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。
以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。
(1) 物体の運動方程式を記述せよ。
(2) 物体が斜面を滑り出さない為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。
解答
(1)(2)
斜面の加速度$\alpha$は小さすぎると物体は斜面に沿って滑り降り、大きすぎれば斜面に沿って滑り上がる。従って、上限と下限を探る必要がある。
滑り降りる場合の限界
物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m\alpha$」なり、斜面に固定された座標軸$x, y$に沿って成分を分解すると図のようになる。
従って、運動方程式は
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta -f\\
\\
m a_y &=& N - m\alpha \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
束縛条件は$a_y=0$であり、摩擦力は静止摩擦力$f=\mu N$になるので
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta -\mu N \\
\\
0 &=& N - m\alpha \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
となる。
よって
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta -\mu N \\
\\
N &=&m\alpha \sin \theta + mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
より
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta -\mu (m\alpha \sin \theta + mg \cos \theta) \\
\\
\end{eqnarray*}
となる。
動かないためには$ma_x \le 0$が必要となるので
\begin{eqnarray*}
ma_x = mg \sin \theta - m\alpha \cos \theta -\mu m\alpha \sin \theta - \mu mg \cos \theta &\le& 0\\
\\
- \alpha \cos \theta -\mu \alpha \sin \theta &\le& \mu g \cos \theta - g \sin \theta \\
\\
- \alpha (\cos \theta +\mu \sin \theta) &\le& \mu g \cos \theta - g \sin \theta \\
\\
\alpha &\ge& \frac{-\mu \cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta +\mu \sin \theta} \ g\\
\end{eqnarray*}
となる。
滑り上がる場合の限界
物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m\alpha$」なり、斜面に固定された座標軸$x, y$に沿って成分を分解すると図のようになる。
従って、運動方程式は
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta + f\\
\\
m a_y &=& N - m\alpha \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
束縛条件は$a_y=0$であり、摩擦力は静止摩擦力$f=\mu N$になるので
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta + \mu N \\
\\
0 &=& N - m\alpha \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
となる。
よって
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta + \mu N \\
\\
N &=&m\alpha \sin \theta + mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
より
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta - m \alpha \cos \theta +\mu (m\alpha \sin \theta + mg \cos \theta) \\
\\
\end{eqnarray*}
となる。
動かないためには$ma_x \le 0$が必要となるので
\begin{eqnarray*}
ma_x = mg \sin \theta - m\alpha \cos \theta +\mu m\alpha \sin \theta + \mu mg \cos \theta &\le& 0\\
\\
- \alpha \cos \theta +\mu \alpha \sin \theta &\le& -\mu g \cos \theta - g \sin \theta \\
\\
\alpha (- \cos \theta + \mu \sin \theta ) &\le& -\mu g \cos \theta - g \sin \theta \\
\\
\alpha &\le& \frac{-\mu \cos \theta - \sin \theta}{-\cos \theta +\mu \sin \theta} \ g\\
\\
\alpha &\le& \frac{\mu \cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta -\mu \sin \theta} \ g\\
\end{eqnarray*}
となる。
斜面の加速度$\alpha$の条件範囲
斜面の加速度$\alpha$の条件範囲は
\begin{eqnarray*}
\frac{-\mu \cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta +\mu \sin \theta} \ g \le \alpha \le \frac{\mu \cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta -\mu \sin \theta} \ g\\
\end{eqnarray*}
となる。