問題
滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。
以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。
(1) 物体の運動方程式を記述せよ。
(2) 物体が斜面を滑り出す為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。
解答
(1)
物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m\alpha$」なり、斜面に固定された座標軸$x, y$に沿って成分を分解すると図のようになる。
従って、運動方程式は
\begin{eqnarray*}
m a_x &=& mg \sin \theta + m \alpha \cos \theta -f\\
\\
m a_y &=& N + m\alpha \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
静止状態では$a_x=0 , a_y=0$であり、その状態での斜面の加速度を$\alpha_0$とする。また、摩擦力は静止摩擦力$f=\mu N$になるので
\begin{eqnarray*}
0 &=& mg \sin \theta + m \alpha_0 \cos \theta -\mu N\\
\\
0 &=& N + m\alpha_0 \sin \theta - mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
となる。
(2)
(1)結果より$y$軸の式を$\mu$倍して和をとると
\begin{eqnarray*}
0 &=& mg \sin \theta + m \alpha_0 \cos \theta -\mu N\\
\\
0 &=& \mu N + m\mu \alpha_0 \sin \theta - \mu mg \cos \theta\\
\end{eqnarray*}
より
\begin{eqnarray*}
0 &=& mg \sin \theta + m \alpha_0 \cos \theta + m\mu \alpha_0 \sin \theta - \mu mg \cos \theta\\
\\
m \alpha_0 \cos \theta + m\mu \alpha_0 \sin \theta &=& - mg \sin \theta + + \mu mg \cos \theta\\
\\
\alpha_0 (\cos \theta + \mu \sin \theta) &=& g(\mu \cos \theta - \sin \theta) \\
\\
\alpha_0 &=& \frac{\mu \cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \mu \sin \theta} g \\
\end{eqnarray*}
と表される。
従って、この値より大きければ滑り出すことになるので
\begin{eqnarray*}
\alpha > \alpha_0 = \frac{\mu \cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \mu \sin \theta}\ g
\end{eqnarray*}
が条件となる。