電車内の慣性力

問題

電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を天井から吊るしたところ、物体は鉛直線となす角度$\theta_0$を保っている。以下の問いに答えよ。

(1) 慣性系における物体の運動方程式を記述せよ。

(2) 車内に固定された座標系における物体の運動方程式を記述せよ。

(3) $\tan \theta_0$を表せ。

(4) 糸の張力$T$を求めよ。

解答

(1)
慣性系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「糸の張力$T$」となり、座標軸$X,Y$に沿って成分を分解すると図のようになる。

従って、運動方程式は

$$\begin{eqnarray*} m a_X &=& T\sin \theta_0 \\ \\ m a_Y &=& T\cos \theta_0 -mg \end{eqnarray*}$$
モデルの設定より$a_X=\alpha , a_Y=0$
$$\begin{eqnarray*} m \alpha &=& T\sin \theta_0 \\ \\ 0 &=& T\cos \theta_0 -mg \end{eqnarray*}$$
となる。

(2)
車内に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「糸の張力$T$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。

従って、運動方程式は

$$\begin{eqnarray*} m a_x &=& T\sin \theta_0 - m \alpha \\ \\ m a_y &=& T\cos \theta_0 -mg \end{eqnarray*}$$
鉛直線となす角度$\theta_0$保持より$a_x=0 , a_y=0$
$$\begin{eqnarray*} 0 &=& T\sin \theta_0 - m \alpha \\ \\ 0 &=& T\cos \theta_0 -mg \end{eqnarray*}$$
となる。

(3),(4)
(1),(2)の結果はいずれも

$$\begin{eqnarray*} T\sin \theta_0 &=& m \alpha \\ \\ T\cos \theta_0 &=& mg \end{eqnarray*}$$
と変形できる。
2式の「比」を取ると
$$\begin{eqnarray*} \frac{T\sin \theta_0}{T\cos \theta_0} &=& \frac{m \alpha}{mg} \\ \\ \tan \theta_0 &=& \frac{\alpha}{g} \\ \end{eqnarray*}$$
となる。

2式の「2乗の和」を取ると

$$\begin{eqnarray*} (T\sin \theta_0)^2 + (T\cos \theta_0)^2 &=& (m \alpha)^2 + (m g)^2\\ \\ T^2\sin^2 \theta_0 + T^2\cos^2 \theta_0 &=& m^2 \alpha^2 + m^2 g^2\\ \\ T^2(\sin^2 \theta_0 + \cos^2 \theta_0) &=& m^2 (\alpha^2 + g^2)\\ \\ T^2 &=& m^2 (\alpha^2 + g^2)\\ \\ T&=& m \sqrt{\alpha^2 + g^2} \\ \end{eqnarray*}$$
となる。