問題
運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$から仕事とエネルギーの関係式を導け。
但し、位置ベクトルを$\vec{r}=(x, y, z)$として扱うとする。
解答
運動方程式は
\begin{eqnarray*}
m \vec{a} &=& \vec{F} \\
\\
m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F}
\end{eqnarray*}
と表される。
ここで、両辺に$\diff \vec{r}$の内積を取って積分すると
\begin{eqnarray*}
\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \diff \vec{r}&=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{eqnarray*}
となる。さらに速度の定義$\vec{v}=\frac{\diff \vec{r}}{\diff t}$より、$\diff \vec{r}=\vec{v} \ \diff t$と表されるので、
\begin{eqnarray*}
\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} \ \diff t &=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}\\
\\
\int \frac{\diff }{\diff t} \biggl( \frac{1}{2}m v^2 \biggr) \ \diff t&=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{eqnarray*}
と表される。この式が「仕事とエネルギーの関係式」である。
$\frac{\diff }{\diff t}\bigl(\ \bigr)$の括弧内を運動エネルギー$K$と呼び、左辺は仕事$W$を表している。
具体的な計算は、モデルの設定に応じて積分区間を指定すればよい。
例えば、A点では$v(t_\mathrm{A})=v_\mathrm{A}$、B点では$v(t_\mathrm{B})=v_\mathrm{B}$とすると
\begin{eqnarray*}
\int_{t_\mathrm{A}}^{t_\mathrm{B}} \frac{\diff }{\diff t} \biggl( \frac{1}{2}m v^2 \biggr) \ \diff t&=& \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r}\\
\\
\biggl[ \frac{1}{2}m v^2 \biggr]_{v(t_\mathrm{A})}^{v(t_\mathrm{B})} &=& \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r}\\
\\
\frac{1}{2}m v_\mathrm{B}^2 -\frac{1}{2}m v_\mathrm{A}^2 &=& \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{eqnarray*}
と表される。
左辺は運動エネルギー$K$の変化量$\Delta K$を表し、右辺はAB間の仕事$W$を表している。
注
$\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} \ \diff t =\int \frac{\diff }{\diff t} \bigl( \frac{1}{2}m v^2 \bigr) \ \diff t$と変形できる理由について
まず、$\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}$の部分に着目して、この形が作れる式を考えると、
$\frac{\diff}{\diff t}(\vec{v} \cdot \vec{v})$を積の微分として展開すると作れるので展開すると、
\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} +\vec{v} \cdot \frac{\diff \vec{v}}{\diff t}= 2\ \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}
\end{eqnarray*}
となります。内積は可換なので$\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}$も$\vec{v} \cdot \frac{\diff \vec{v}}{\diff t}$も同じなので片方にまとめることができます。
一方、内積$\vec{v} \cdot \vec{v}$を先に計算すると、
\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{\diff}{\diff t}(|\vec{v} | \ | \vec{v}|\cos \theta)
\end{eqnarray*}
となり、自分自身の内積はなす角$\theta=0$なので
\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{\diff}{\diff t}(|\vec{v} | \ | \vec{v}|\cos \theta) =\frac{\diff}{\diff t}(v \ v\cos 0) = \frac{\diff}{\diff t}(v^2)
\end{eqnarray*}
となります。
この2つの結果は元が同じなので
\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{v} \cdot \vec{v}) = 2\ \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} &=& \frac{\diff}{\diff t}(v^2) \\
\\
\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}&=& \frac{\diff}{\diff t}\biggl( \frac{1}{2} v^2 \biggr)
\end{eqnarray*}
となります。
ここで、質量$m$をあわせると
\begin{eqnarray*}
m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}&=& \frac{\diff}{\diff t}\biggl( \frac{1}{2} m v^2 \biggr)
\end{eqnarray*}
となり、式変形ができることになります。
この式変形を理解すると、運動エネルギー$K$に$\frac{1}{2}$が係数としてついてくる理由が理解できます。
$\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}$が$2$個分あるので$\frac{1}{2}$したことに由来しています。