問題
無限に長い直線電流$\vec{I}$が作る磁場を求めよ。
解答
アンペールの法則を適用する閉曲面$S$を電流$\vec{I}$が中心を通る半径$R$の円に設定すると
アンペールの法則
\begin{eqnarray*}
\oint_C \vec{B} \cdot \diff \vec{s} &=& \mu_0 \int_S \vec{i} \cdot \diff\vec{S} \\
\\
\mbox{閉曲面$S$の縁$C$に沿っての磁場の線積分} &=& \mu_0 \times \mbox{閉曲面$S$を貫く電気量}
\end{eqnarray*}
より、閉曲面$S$の縁$C$に沿っての磁場の線積分については
\begin{eqnarray*}
\oint_C \vec{B} \cdot \diff \vec{s} &=& \int_0^{2\pi R} |\vec{B}|\ |\diff \vec{s}| cos 0 \qquad (\vec{B} \parallel \diff \vec{s})\\
\\
&=& B\int_0^{2\pi R} \diff s \\
\\
&=& B\cdot 2\pi R
\end{eqnarray*}
また、閉曲面$S$を貫く電気量については
\begin{eqnarray*}
\int_S \vec{i} \cdot \diff\vec{S} &=& \int_S \vec{i}\cdot \vec{n} \diff S\\
\\
&=& \int_S |\vec{i}|\ |\vec{n}| \cos 0 \diff S \qquad (\vec{i} \parallel \vec{n})\\
\\
&=& \int_S i \diff S \\
\\
&=& I
\end{eqnarray*}
となる。
従って、
\begin{eqnarray*}
\oint_C \vec{B} \cdot \diff \vec{s} &=& \mu_0 \int_S \vec{i} \cdot \diff\vec{S} \\
\\
B \cdot 2\pi R &=& \mu_0 I\\
\\
B &=& \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}
\end{eqnarray*}
となる。
この式を見ると
\begin{eqnarray*}
B &=& \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{I}{R}
\end{eqnarray*}
であるから、電流$I$に比例し、電流からの距離$R$に反比例する量であることが解るので、磁場$B$を$r$の関数と見なし
\begin{eqnarray*}
B (r) &=& \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \cdot \frac{1}{r}
\end{eqnarray*}
と表すこともできる。