磁場中の荷電粒子の運動

問題

$z$軸方向に一様な磁場$\vec{B}$がある。この磁場内で運動する荷電粒子について論ぜよ。但し、荷電粒子の質量$m$、電荷を$q$とする。

解答

一様な磁場内$\vec{B}$で運動する荷電粒子に作用する力はローレンツ力が作用するので運動方程式は
$$\begin{eqnarray*} m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \end{eqnarray*}$$
と表される。

成分で表すと
$$\begin{eqnarray*} m \left( \begin{array}{c} \frac{\diff v_x}{\diff t} \\\\ \frac{\diff v_y}{\diff t} \\\\ \frac{\diff v_z}{\diff t} \end{array} \right) &=& q \left( \begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ B \end{array} \right) \\ \\ &=& q \left( \begin{array}{c} v_y \cdot B - v_z \cdot 0\\ v_x \cdot 0 - v_x \cdot B\\ v_x \cdot 0 - v_y \cdot 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& q \left( \begin{array}{c} v_yB \\ -v_xB \\ o \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
となる。
従って、それぞれの加速度は
$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff v_x}{\diff t} &=& \frac{qB}{m} v_y \\ \\ \frac{\diff v_y}{\diff t} &=& -\frac{qB}{m} v_x \\ \\ \frac{\diff v_z}{\diff t} &=& 0 \\ \end{eqnarray*}$$
となり、連立微分方程式で表される。

$x$成分の式を$t$で微分すると
$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff v_x}{\diff t} &=& \frac{qB}{m} v_y \\ \\ \frac{\diff}{\diff t}\biggl(\frac{\diff v_x}{\diff t}\biggr) &=& \frac{\diff}{\diff t}\biggl(\frac{qB}{m} v_y \biggr)\\ \\ \frac{\diff^2 v_x}{\diff t^2} &=& \frac{qB}{m} \frac{\diff v_y}{\diff t} = \frac{qB}{m} \cdot -\frac{qB}{m} v_x \\ \\ &=& - \biggl( \frac{qB}{m} \biggr)^2 v_x \end{eqnarray*}$$
となる。ここで$\omega = \frac{qB}{m}$と置くと
$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff^2 v_x}{\diff t^2} = - \omega^2 v_x \end{eqnarray*}$$
となる。
この微分方程式の一般解は
$$\begin{eqnarray*} v_x(t) = \alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t　\qquad (\alpha , \beta :\mbox{任意定数})\\ \end{eqnarray*}$$
となる。
$v_y$については$x$成分の式より
$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff v_x}{\diff t} &=& \omega v_y \\ \\ v_y &=& \frac{1}{\omega} \frac{\diff v_x}{\diff t} \\ \\ &=& \frac{1}{\omega} \frac{\diff}{\diff t} (\alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t) \\ \\ &=& \frac{1}{\omega} [\alpha (-\sin \omega t) \cdot \omega +\beta \cos \omega t \cdot \omega ] \\ \\ &=& -\alpha \sin \omega t + \beta \cos \omega t \end{eqnarray*}$$
となる。
従って、速度$v_x(t), v_y(t)$は
$$\begin{eqnarray*} v_x(t) &=& \alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t　\\ \\ v_y(t) &=& -\alpha \sin \omega t + \beta \cos \omega t \end{eqnarray*}$$
となる。
それぞれから$x(t) ,y(t)$を求めると
$$\begin{eqnarray*} v_x(t) = \frac{\diff x(t)}{\diff t} &=& \alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t　\\ \\ \int \frac{\diff x(t)}{\diff t} \diff t &=& \int (\alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t) \diff t \\ \\ \int \diff x(t) &=& \int (\alpha \cos \omega t + \beta \cos \omega t) \diff t \\ \\ x(t) &=& \frac{1}{\omega}\alpha \sin \omega t + \frac{1}{\omega} \beta (-\sin \omega t) +C_1 \qquad (C_1:\mbox{積分定数})\\ \\ &=& \frac{\alpha}{\omega} \sin \omega t - \frac{\beta}{\omega} \cos \omega t +C_1 \\ \end{eqnarray*}$$
続いて
$$\begin{eqnarray*} v_y(t) = \frac{\diff y(t)}{\diff t} &=& -\alpha \sin \omega t + \beta \cos \omega t \\ \\ \int \frac{\diff y(t)}{\diff t} \diff t &=& \int ( -\alpha \sin \omega t + \beta \cos \omega t ) \diff t \\ \\ \int \diff y(t) &=& \int ( -\alpha \sin \omega t + \beta \cos \omega t ) \diff t \\ \\ y(t) &=& - \frac{1}{\omega} \alpha (-\cos \omega t) + \frac{1}{\omega} \beta \sin \omega t + C_2 \qquad (C_1:\mbox{積分定数})\\ \\ &=& \frac{\alpha}{\omega} \cos \omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin \omega t + C_2 \end{eqnarray*}$$
となる。
ここで$\displaystyle R\cos \theta = -\frac{b}{\omega}, R\sin \theta = \frac{\alpha}{\omega}$となるように$R$と$\omega$を設定すると
$$\begin{eqnarray*} x(t) &=& \frac{\alpha}{\omega} \sin \omega t - \frac{\beta}{\omega} \cos \omega t +C_1 \\ \\ &=& R \sin \theta \sin \omega t + R \cos \theta \cos \omega t +C_1 \\ \\ &=& R \cos (\theta - \omega t) +C_1 \\ \\ y(t)&=& \frac{\alpha}{\omega} \cos \omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin \omega t + C_2 \\ \\ &=& R \sin \theta \cos \omega t - R \cos \theta \sin \omega t + C_2 \\ \\ &=& R \sin (\theta - \omega t) + C_2 \end{eqnarray*}$$
となる。
$z$軸については
$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff v_z}{\diff t} &=& 0 \\ \\ \int \frac{\diff v_z}{\diff t} \diff t &=& \int 0 \diff t \\ \\ \int \diff v_z &=& \int 0 \diff t \\ \\ v_z &=& C_3 =\mbox{const.} \qquad (C_3:\mbox{積分定数}) \\ \\ \frac{\diff z(t)}{\diff t} &=& v_z \\ \\ \int \frac{\diff z(t)}{\diff t} \diff t &=& \int v_z \diff t \\ \\ \int \diff z(t) &=& \int v_z \diff t \\ \\ z(t) &=& v_z t +C_4 \qquad (C_4:\mbox{積分定数}) \\ \end{eqnarray*}$$
となる。$t=0$で$z(0)=Z_0$とすると
$$\begin{eqnarray*} z(0) = v_z \cdot 0 +C_4 &=& z_0 \\ \\ C_4 &=& z_0 \end{eqnarray*}$$
となるので
$$\begin{eqnarray*} z(t) = v_z t + z_0 \\ \end{eqnarray*}$$
となる。

以上より、結果をまとめると
$$\begin{eqnarray*} x(t) &=& R \cos (\theta - \omega t) +C_1 \\ \\ y(t) &=& R \sin (\theta - \omega t) + C_2 \\ \\ z(t) &=& v_z t + z_0 \\ \end{eqnarray*}$$
$x-y$平面では回転運動、$z$軸方向は等速度運動になり、これらをあわせると螺旋運動になります。

$\omega <0$の時、円運動は反時計回りになり、$\omega >0$の時、円運動は時計回りになります。