無限に長い円柱の表面に分布した電荷による電場・電位

問題

無限に長い半径 $a$ の円柱の表面に、単位長さ当たり $\sigma$ の電荷が帯電しているとする。以下の問いに答えよ。ただし、円柱表面での電位を $\phi_0$ とする。

(1) 電場 $E$ を、円柱の中心からの距離 $r$ の関数として求めよ。

(2) 電位 $\phi$ を、円柱の中心からの距離 $r$ の関数として求めよ。

解答

(1)
ガウスの法則は

$$\begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \\ \int \vec{E} \cdot \vec{n} \diff S &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \end{eqnarray*}$$

なので
$r \ge a$において図の様な半径$r$、高さ$Z$の円柱の閉曲面を想定し、

ガウスの法則を適用すると

$$\begin{eqnarray*} E(r) \cdot 2 \pi r Z &=& \frac{\sigma Z}{\varepsilon_0} \\ \\ E(r) &=& \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$$
となる。

一方、$r < a$において図の様な半径$r$、高さ$Z$の円柱の閉曲面を想定し、

ガウスの法則を適用すると

$$\begin{eqnarray*} E(r) \cdot 2 \pi r Z &=& \frac{0 \cdot z}{\varepsilon_0} \\ \\ E(r) &=& 0 \end{eqnarray*}$$
となる。
従って$E(r)$のグラフは

となる。

(2)
電位$\phi$については

$$\begin{eqnarray*} \phi(r) &=& \phi_0 + \biggl( - \int_a^r E \diff r \biggl)\\ \\ &=& \phi_0 - \int_a^r \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r} \diff r \\ \\ &=& \phi_0 - \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \int_a^r \frac{1}{r} \diff r \\ \\ &=& \phi_0 - \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \biggl[ \log r \biggr]_a^r \\ \\ &=& \phi_0 - \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \bigl( \log r - \log a \bigr)\\ \\ &=& \phi_0 - \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0} \log \frac{r}{a} \end{eqnarray*}$$
となる。