問題
$z$軸上に点電荷$\pm Q$が距離$d$離れて置かれている。この距離$d$の中心を原点として以下の問いに答えよ。但し$d \ll r$とする。
(1) 点P$(x,y,z)$においてこの2つの電荷が作る電位$\phi$を求めよ。
(2) 点P$(x,y,z)$においこの2つの電荷が作る電場$E$を求めよ。
解答
(1)
それぞれの電荷が作る電位は
\begin{eqnarray*}
\phi(r_+) &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z- \frac{d}{2} \bigr)^2}}} \\
\\
\phi(r_-) &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-Q}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z + \frac{d}{2} \bigr)^2}}} \\
\end{eqnarray*}
となるので、重ね合わせの原理より
\begin{eqnarray*}
\phi(r) &=& \phi(r_+) + \phi(r_-) \\
&=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z- \frac{d}{2} \bigr)^2}}}
+
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-Q}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z + \frac{d}{2} \bigr)^2}}} \\
\\
&=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}
\biggl[ \frac{1}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z- \frac{d}{2} \bigr)^2}}} - \frac{1}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl(z + \frac{d}{2} \bigr)^2}}} \biggr]
\end{eqnarray*}
となる。
ここで$x^2 + y^2 + \bigl(z\pm \frac{d}{2}\bigr)^2 $において$d \ll r$より
\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 + \biggl(z + \frac{d}{2}\biggr)^2 &=& x^2 + y^2 +x^2 + 2z \frac{d}{2} + \biggl(\frac{d}{2}\biggr)^2 \\
\\
&=& r^2 + zd + \biggl(\frac{d}{2}\biggr)^2 \\
\\
&\simeq & r^2 + zd \\
\\
x^2 + y^2 + \biggl(z - \frac{d}{2}\biggr)^2 &=& x^2 + y^2 +x^2 + 2z \frac{d}{2} - \biggl(\frac{d}{2}\biggr)^2 \\
\\
&=& r^2 - zd + \biggl(\frac{d}{2}\biggr)^2 \\
\\
&\simeq & r^2 - zd \\
\end{eqnarray*}
となる。
よって近似式$(1+x)^n = 1+nx$を利用すると
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z \pm \frac{d}{2} \bigr)^2}}}
&=& \frac{1}{\sqrt{{r^2 \pm zd}}} \\
\\
&=& \frac{1}{\sqrt{{r^2 (1 \pm \frac{zd}{r^2})}}} \\
\\
&=& \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 \pm \frac{zd}{r^2}}} \\
\\
&=& \frac{1}{r} \biggl( 1 \pm \frac{zd}{r^2} \biggr)^{-\frac{1}{2}} \\
\\
&\simeq & \frac{1}{r} \biggl[ 1\pm \biggl(- \frac{1}{2}\biggr)\frac{zd}{r^2 } \biggr] \\
\\
&=& \frac{1}{r} \biggl( 1 \mp \frac{zd}{2r^2 } \biggr)
\end{eqnarray*}
となる。
従って
\begin{eqnarray*}
\phi(r) &=&
\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}
\biggl[ \frac{1}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl( z- \frac{d}{2} \bigr)^2}}} - \frac{1}{\sqrt{{x^2+y^2 + \bigl(z + \frac{d}{2} \bigr)^2}}} \biggr] \\
\\
&=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}
\biggl[ \frac{1}{r} \biggl( 1 + \frac{zd}{2r^2 } \biggr)
- \frac{1}{r} \biggl( 1 - \frac{zd}{2r^2 } \biggr) \biggr] \\
\\
&=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \biggl( \frac{zd}{2r^2} +\frac{zd}{2r^2} \biggr) \\
\\
&=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \frac{zd}{r^2} \\
\\
&=& \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{zd}{r^3} \\
\\
&=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q d \cos \theta}{r^3}
\end{eqnarray*}
となる。
ここで、大きさ$Qd$、向き$\vec{e}_z$のベクトル$\vec{p}$を設定すると
\begin{eqnarray*}
\phi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}
\end{eqnarray*}
と記述できる。このベクトル$\vec{p}$を電気双極子モーメントと呼ぶ。
(2)
電場$E(r)$は
\begin{eqnarray*}
E(r) &=& -\nabla \phi \\
\\
&=& -\nabla \biggl(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} \biggr) \\
\\
&=& -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \biggl(\frac{\partial}{\partial x} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}, \frac{\partial}{\partial y} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} , \frac{\partial}{\partial z} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}\biggr)\\
\end{eqnarray*}
となる。
それぞれの成分において
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} &=& p_x \frac{1}{r^3}+ \vec{p}\cdot\vec{r}\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r^3} \\\\
&=& p_x \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3x}{r^5}\\
\\
\frac{\partial}{\partial y} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} &=& p_y \frac{1}{r^3}+ \vec{p}\cdot\vec{r}\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r^3} \\\\
&=& p_y \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3y}{r^5}\\
\\
\frac{\partial}{\partial z} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} &=& p_z \frac{1}{r^3}+ \vec{p}\cdot\vec{r}\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{r^3} \\\\
&=& p_z \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3z}{r^5}\\
\end{eqnarray*}
となるので、
\begin{eqnarray*}
E(r) &=& -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \biggl(\frac{\partial}{\partial x} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}, \frac{\partial}{\partial y} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} , \frac{\partial}{\partial z} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}\biggr)\\
\\
&=& -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}
\biggl(
p_x \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3x}{r^5},
p_x \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3y}{r^5},
p_x \frac{1}{r^3} - \vec{p}\cdot\vec{r} \frac{3z}{r^5},
\biggr)\\
\\
&=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}
\frac{3(\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{r}-r^2 \vec{p}}{r^5}
\end{eqnarray*}
となる。