問題
z軸上に点電荷±Qが距離d離れて置かれている。この距離dの中心を原点として以下の問いに答えよ。但しd≪rとする。
(1) 点P(x,y,z)においてこの2つの電荷が作る電位ϕを求めよ。
(2) 点P(x,y,z)においこの2つの電荷が作る電場Eを求めよ。
解答
(1)
それぞれの電荷が作る電位は
ϕ(r+)=14πε0Q√x2+y2+(z−d2)2ϕ(r−)=14πε0−Q√x2+y2+(z+d2)2
となるので、重ね合わせの原理より
ϕ(r)=ϕ(r+)+ϕ(r−)=14πε0Q√x2+y2+(z−d2)2+14πε0−Q√x2+y2+(z+d2)2=Q4πε0[1√x2+y2+(z−d2)2−1√x2+y2+(z+d2)2]
となる。
ここでx2+y2+(z±d2)2においてd≪rより
x2+y2+(z+d2)2=x2+y2+x2+2zd2+(d2)2=r2+zd+(d2)2≃r2+zdx2+y2+(z−d2)2=x2+y2+x2+2zd2−(d2)2=r2−zd+(d2)2≃r2−zd
となる。
よって近似式(1+x)n=1+nxを利用すると
1√x2+y2+(z±d2)2=1√r2±zd=1√r2(1±zdr2)=1r1√1±zdr2=1r(1±zdr2)−12≃1r[1±(−12)zdr2]=1r(1∓zd2r2)
となる。
従って
ϕ(r)=Q4πε0[1√x2+y2+(z−d2)2−1√x2+y2+(z+d2)2]=Q4πε0[1r(1+zd2r2)−1r(1−zd2r2)]=Q4πε0r(zd2r2+zd2r2)=Q4πε0rzdr2=Q4πε0zdr3=14πε0Qdcosθr3
となる。
ここで、大きさQd、向き→ezのベクトル→pを設定すると
ϕ(r)=14πε0→p⋅→rr3
と記述できる。このベクトル→pを電気双極子モーメントと呼ぶ。
(2)
電場E(r)は
E(r)=−∇ϕ=−∇(14πε0→p⋅→rr3)=−14πε0(∂∂x→p⋅→rr3,∂∂y→p⋅→rr3,∂∂z→p⋅→rr3)
となる。
それぞれの成分において
∂∂x→p⋅→rr3=px1r3+→p⋅→r∂∂x1r3=px1r3−→p⋅→r3xr5∂∂y→p⋅→rr3=py1r3+→p⋅→r∂∂y1r3=py1r3−→p⋅→r3yr5∂∂z→p⋅→rr3=pz1r3+→p⋅→r∂∂z1r3=pz1r3−→p⋅→r3zr5
となるので、
E(r)=−14πε0(∂∂x→p⋅→rr3,∂∂y→p⋅→rr3,∂∂z→p⋅→rr3)=−14πε0(px1r3−→p⋅→r3xr5,px1r3−→p⋅→r3yr5,px1r3−→p⋅→r3zr5,)=14πε03(→p⋅→r)→r−r2→pr5
となる。