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物理学 電磁気学

電気双極子の電位・電場

問題

z軸上に点電荷±Qが距離d離れて置かれている。この距離dの中心を原点として以下の問いに答えよ。但しdrとする。

(1) 点P(x,y,z)においてこの2つの電荷が作る電位ϕを求めよ。

(2) 点P(x,y,z)においこの2つの電荷が作る電場Eを求めよ。


解答

(1)
それぞれの電荷が作る電位は
ϕ(r+)=14πε0Qx2+y2+(zd2)2ϕ(r)=14πε0Qx2+y2+(z+d2)2
となるので、重ね合わせの原理より

ϕ(r)=ϕ(r+)+ϕ(r)=14πε0Qx2+y2+(zd2)2+14πε0Qx2+y2+(z+d2)2=Q4πε0[1x2+y2+(zd2)21x2+y2+(z+d2)2]
となる。

ここでx2+y2+(z±d2)2においてdrより
x2+y2+(z+d2)2=x2+y2+x2+2zd2+(d2)2=r2+zd+(d2)2r2+zdx2+y2+(zd2)2=x2+y2+x2+2zd2(d2)2=r2zd+(d2)2r2zd
となる。
よって近似式(1+x)n=1+nxを利用すると
1x2+y2+(z±d2)2=1r2±zd=1r2(1±zdr2)=1r11±zdr2=1r(1±zdr2)121r[1±(12)zdr2]=1r(1zd2r2)
となる。
従って
ϕ(r)=Q4πε0[1x2+y2+(zd2)21x2+y2+(z+d2)2]=Q4πε0[1r(1+zd2r2)1r(1zd2r2)]=Q4πε0r(zd2r2+zd2r2)=Q4πε0rzdr2=Q4πε0zdr3=14πε0Qdcosθr3
となる。
ここで、大きさQd、向きezのベクトルpを設定すると
ϕ(r)=14πε0prr3
と記述できる。このベクトルpを電気双極子モーメントと呼ぶ。

(2)
電場E(r)
E(r)=ϕ=(14πε0prr3)=14πε0(xprr3,yprr3,zprr3)
となる。
それぞれの成分において
xprr3=px1r3+prx1r3=px1r3pr3xr5yprr3=py1r3+pry1r3=py1r3pr3yr5zprr3=pz1r3+prz1r3=pz1r3pr3zr5
となるので、
E(r)=14πε0(xprr3,yprr3,zprr3)=14πε0(px1r3pr3xr5,px1r3pr3yr5,px1r3pr3zr5,)=14πε03(pr)rr2pr5
となる。

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