問題
図のような面積 $S$、極板間距離 $d$ の平行板コンデンサーに導体を挿入し、両極板間に電圧 $V$ をかけたとする。ただし、導体の電気伝導率を $\sigma$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) 電場$E$を表せ。
(2) 電流密度$i$を表せ。
(3) 電極間に発生する単位時間当たりのジュール熱を求めよ。
解答
(1)
電位$V$と電場$E$の関係は$1 \mbox{C}$当たりの仕事を考えると
\begin{eqnarray*}
V=E\cdot d
\end{eqnarray*}
と表されるので
\begin{eqnarray*}
E = \frac{V}{d}
\end{eqnarray*}
となる。
(2)
一般化されたオームの法則より
\begin{eqnarray*}
i &=& \sigma E \\
\\
&=& \sigma \frac{V}{d}
\end{eqnarray*}
となる。
(3)
単位時間当たりのジュール熱は
\begin{eqnarray*}
\frac{dW}{dt} &=& \frac{d}{dt}(qV) \\
\\
&=& \frac{dq}{dt}V +q \frac{dV}{dt} \\
\\
&=& \frac{dq}{dt}V \\
\\
&=& IV \\
\\
&=& iS \cdot Ed \\
\\
&=& \sigma \frac{V}{d} S \cdot \frac{V}{d} d \\
\\
&=& \frac{\sigma V^2 S}{d}
\end{eqnarray*}
となる。