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問題 半径$R_0$の円盤に一様な面密度$\sigma$で電荷が帯電している。 以下の問いに答えよ。 (1) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電位$\phi(z)$を求めよ。 (2) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電場$E_z$を求めよ。 解答 図のように円盤の中心から半径$R\ (\le R_0)$の場所に幅$\diff R$の微小リングを考える。 半径$R$の微小リングが持つ電荷$\diff Q$は \begin{eqnarray*} \diff Q = 2\pi R \ ...

問題 水平面となす角$\theta$の滑らかな斜面に質量$m$の物体を置いた。斜面を左向きに水平加速度$\alpha$で動かしたところ、物体は斜面を上り始めた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面上を長さ$L$移動するのにかかる時間$t_1$を求めよ。 解答 (1) 動く斜面に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。( ...

問題 電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を初速度$v_0$で床から鉛直に投げ上げた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 速度$v_x(t), v_y(t)$及び位置$x(t), y(t)$を表せ。 (3) 再び床に戻ったときの位置を求めよ。 解答 (1) 電車内に座標軸を設定すると物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と慣性力「$m\alpha$」となる。 従って、運動方程式は \begin{eqnarray*} m ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。 以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体が斜面を滑り出さない為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。 解答 (1)(2) 斜面の加速度$\alpha$は小さすぎると物体は斜面に沿って滑り降り、大きすぎれば斜面に沿って滑り上がる。従って、上限と下限を探る必 ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の摩擦のある粗い斜面に、質量$m$の物体を置かれ静止している。斜面を左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動かすモデルを考える。 以下の問いに答えよ。但し、静止摩擦係数を$\mu$とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体が斜面を滑り出す為の斜面の加速度$\alpha$の条件を求めよ。 解答 (1) 物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m\alpha$」なり、斜面に固定された座標軸$x, y$ ...

問題 滑らかな水平面となす角$\theta$の質量$M$の滑らかな斜面に、質量$m$の物体を置いたところ、物体は滑り降り、斜面は左向きの水平方向に加速度$\alpha$で動き出した。以下の問いに答えよ。 (1) 斜面と物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面の加速度$\alpha$を求めよ。 (3) 斜面上の物体の速度$v_x(t)$を求めよ。 (4) 斜面上の物体の位置$x(t)$を求めよ。 (5) 斜面上を長さ$L$だけ進むのにかかる時間$t_1$を求めよ。 解答 (1) 斜面については作用する力は ...

解答 水平面となす角$\theta$の滑らかな斜面に質量$m$の物体を置いた。斜面を左向きに水平加速度$\alpha$で動かしたところ、物体は斜面上で静止していた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面の加速度$\alpha$を求めよ。 解答 (1) 動く斜面に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。(注: 斜面は滑らか ...

問題 電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を天井から吊るしたところ、物体は鉛直線となす角度$\theta_0$を保っている。以下の問いに答えよ。 (1) 慣性系における物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 車内に固定された座標系における物体の運動方程式を記述せよ。 (3) $\tan \theta_0$を表せ。 (4) 糸の張力$T$を求めよ。 解答 (1) 慣性系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「糸の張力$T$」となり、座標 ...

問題 質量$M$のエレベータの内部で、質量$m$の物体が床から高さ$h$の位置に、軽い糸で天井から吊るされている。エレベータは鉛直上向きに一定の力$F$で引かれて上昇している。以下の問いに答えよ。 (1) エレベータと物体の運動方程式をそれぞれ記述せよ。 (2) 糸の張力$T$を求めよ。 (3) エレベータの加速度$\alpha$を求めよ 運動中に糸を切ったとする。糸を切った瞬間を$t=0$とし、時刻$t_1$に物体が床に達したとする。 (4) 切った後の物体の速度$v_x(t)$と位置$x(t)$を求め ...

問題 一定の加速度$\alpha$で上昇するエレベータがある。 このエレベータ内で、質量$m$の物体を初速度$v_0$で鉛直上方に投げ上げた。投げ上げた瞬間を$t=0$とし、その位置を原点とすると、時刻$t_1$に再び原点に戻ってきた。 以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。 (3) 物体の位置$x(t)$を求めよ。 (4) エレベーターの加速度$\alpha$を求めよ。 解答 (1) 座標軸をエレベータ内に上向き正に設定します。 物体に作用す ...