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ここから「力学」の本題に入っていきます。 ニュートンが$1687$年に「Principia (プリンキピア)」で発表し、彼が「力学」の分野を体系立てた内容になります。 「ニュートン力学」の基礎となる $3$ つの法則があります。 第$1$法則は「慣性の法則」です。 力の種類のところでも少し扱いましたが、全ての物体には「慣性」があります。 つまり、「運動状態の変化 (具体的には速度 $\vec{v}$ の変化) がなければその状態を維持する」という法則になります。 第$2$法則は「 $m\vec{a}=\v ...

力とは何か (基本概念) 力学で大事なことは「力がどうなっているか？」を考えることになります。 日常で「力」という言葉は様々な場面で使用しています。しかし、物理における「力」は ・ 物体の運動状態を変化させる原因 ・ 物体を変形させる原因 として扱います。 1つ目について 「運動状態の変化」とは具体的に何を指すかと言えば、「速度 $\vec{v}$ の変化があるか？」ということになります。 速度 $\vec{v}$ に変化があれば「力」が作用している。 速度 $\vec{v}$ に変化がなければ「力」が作 ...

それでは実際の運動モデルについて考えて行きましょう。 複雑なモデルの話をする前に、まずは簡単な例を扱います。 一つ目は「等速度運動」です。文字通り、「等速度」である運動になります。 「速度が一定」ということは、「大きさ」だけでなく「向き」も変化しないことを意味します。 「速度の向きが変わらない」ということは、「運動方向が変わらない」、即ち「直線運動」になります。 よって、「等速度運動」のことを別名で「等速直線運動」と呼ぶこともあります。 二つ目のモデルは「等加速度運動」です。 このモデルも典型的なモデルに ...

運動の基本的な量 $$ \begin{aligned} &\cdot\ \mbox{位置(ベクトル)}\ \vec{r} \ \mbox{：物体の場所} \\ &\cdot\ \mbox{変位(ベクトル)}\ \Delta \vec{r} \ \mbox{：位置の変化} \\ &\cdot\ \mbox{速度(ベクトル)}\ \vec{v} \ \mbox{：変位の変化率} \\ &\cdot\ \mbox{加速度(ベクトル)}\ \vec{a} \ \mbox{：速度の変 ...

問題 図のような面積 $S$、極板間距離 $d$ の平行板コンデンサーを考える。 ただし、電極間の誘電率は$\varepsilon_0$とする。 (1) 電荷が一様な状態で分布し面密度$\sigma$であるとき電極間の電場$E$を求めよ。 (2) このコンデンサーの静電容量を求めよ。 解答 (1) コンデンサーの両端に$+Q,\ -Q$の電荷を与えるとすると、電荷$Q$は \begin{eqnarray*} Q = \sigma S \end{eqnarray*} で表される。 ガウスの法則は \begi ...

問題 導体の表面に面密度$\sigma$で電荷が分布しているとき、導体表面の電場の大きさ$E$を求めよ。 解答 ガウスの法則は \begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \\ \int \vec{E} \cdot \vec{n} \diff S &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \end{eqnarray*} となるので 導体の表面において図の様な底面積$\ ...

問題 図のような面積 $S$、極板間距離 $d$ の平行板コンデンサーに導体を挿入し、両極板間に電圧 $V$ をかけたとする。ただし、導体の電気伝導率を $\sigma$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 電場$E$を表せ。 (2) 電流密度$i$を表せ。 (3) 電極間に発生する単位時間当たりのジュール熱を求めよ。 解答 (1) 電位$V$と電場$E$の関係は$1 \mbox{C}$当たりの仕事を考えると \begin{eqnarray*} V=E\cdot d \end{eqnarray*} と表 ...

問題 地球を孤立した導体球と仮定し、以下の問いに答えよ。但し、地球の半径は $R_E = 6.38 \times 10^6 \ \mathrm{m}$、真空の誘電率は $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \mathrm{F/m}$ とする。 (1) 地球の中心からの距離$r\ (> R_E)$における電場$E(r)$を求めよ。 (2) 地球の中心からの距離$r\ (> R_E)$における電位$\phi(r)$を求めよ。 (3) 地球の静電容量$C_E$を求めよ。 ...

問題 半径$R$の導体球に電荷$+Q$を与えた。以下の問いに答えよ。 (1) 中心からの距離$r$の電場$E(r)$を求め、$E(r)$のグラフを描け。 (2) 中心からの距離$r$の電位$\phi(r)$を求め、$\phi(r)$のグラフを描け。 解答 ガウスの法則は \begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \\ \int \vec{E} \cdot \vec{n} \diff S ...

問題 平行な2本の導線が距離$R$離れて置かれている。それぞれを流れる電流が$I_1, I_2$としたとき以下の問いに答えよ。 (1) 2本の導線に作用する力の向きを答えよ。 (2) 導線の長さ$L$に働く力を求めよ。 解答 (1) アンペールの法則 \begin{eqnarray*} \oint_C \vec{B} \cdot \diff \vec{s} &=& \mu_0 \int_S \vec{i} \cdot \diff\vec{S} \\ \\ \mbox{閉曲面$S$の縁$C$に沿っての磁場の ...