問題
半径$R$の導体球に電荷$+Q$を与えた。以下の問いに答えよ。
(1) 中心からの距離$r$の電場$E(r)$を求め、$E(r)$のグラフを描け。
(2) 中心からの距離$r$の電位$\phi(r)$を求め、$\phi(r)$のグラフを描け。
解答
ガウスの法則は
\begin{eqnarray*}
\int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\
\\
\int \vec{E} \cdot \vec{n} \diff S &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\
\end{eqnarray*}
となるので
$0 \le r < R$において図の様な半径$r$の球の閉曲面を想定し
ガウスの法則を適用すると、導体球なので電荷は球の表面のみに分布し、内部には存在しないので
\begin{eqnarray*}
E(r) \cdot 4 \pi r^2 &=& \frac{0}{\varepsilon_0} \\
\\
E(r) &=& 0
\end{eqnarray*}
となる。
$R < r $において図の様な半径$r$の球の閉曲面を想定し
ガウスの法則を適用すると
\begin{eqnarray*}
E(r) \cdot 4 \pi r^2 &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\
\\
E(r) &=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2}
\end{eqnarray*}
となる。
従って、$E(r)$のグラフは
となる。
(2)
$0 \le r < R$において$\phi(r)$は図より$E(r)$のグラフの面積に相当するので
\begin{eqnarray*}
\phi (r) &=& \int_r^\infty E(r) \diff r\\
\\
&=& 0 + \int_R^\infty E(r) \diff r\\
\\
&=& \int_R^\infty \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \diff r\\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \int_R^\infty \frac{1}{r^2} \diff r\\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \biggl[- \frac{1}{r} \biggr]_R^\infty \\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \biggl[- \frac{1}{\infty} - \biggl( -\frac{1}{R} \biggl) \biggr] \\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{R}
\end{eqnarray*}
となる。
$R < r $においても同様に図より
\begin{eqnarray*}
\phi (r) &=& \int_r^\infty E(r) \diff r\\
\\
&=& \int_r^\infty \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \diff r\\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \int_r^\infty \frac{1}{r^2} \diff r\\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \biggl[- \frac{1}{r} \biggr]_r^\infty \\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \biggl[- \frac{1}{\infty} - \biggl( -\frac{1}{r} \biggl) \biggr]\\
\\
&=& \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}
\end{eqnarray*}
となる。
従って、$\phi(r)$のグラフは
となる。