電場中の静電エネルギー密度

問題

真空中に半径 $a$ の金属球があり、電気量 $q$（$q > 0$）が帯電しているとする。以下の問いに答えよ。ただし、真空中の静電エネルギー密度は電場 $E$ を用いて次式で表されるものとする。

$$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \end{eqnarray*}$$

(1) 金属球の中心から$r\ (r>a)$の位置における電場$E$を求めよ。

(2) 金属球の中心から$r\ (r>a)$の位置における静電エネルギー密度$u(r)$を求めよ。

(3) 全静電エネルギーを求めよ。

解答

(1)
ガウスの法則は

$$\begin{eqnarray*} \int \vec{E} \cdot \diff \vec{S} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \\ \int \vec{E} \cdot \vec{n} \diff S &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ \end{eqnarray*}$$

なので
$a < r$において図の様な半径$r$の球の閉曲面を想定し

ガウスの法則を適用すると

$$\begin{eqnarray*} E(r) \cdot 4 \pi r^2 &=& \frac{q}{\varepsilon_0} \\ \\ E(r) &=& \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \end{eqnarray*}$$
となる。

(2)
静電エネルギー密度$u(r)$は

$$\begin{eqnarray*} u(r) &=& \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \\ \\ &=& \frac{1}{2} \varepsilon_0 \biggl(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2}\biggr)^2 \\ \\ &=& \frac{1}{2} \varepsilon_0 \frac{q^2}{4^2 \pi^2 \varepsilon_0^2} \frac{1}{r^4} \\ \\ &=& \frac{q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0} \frac{1}{r^4} \end{eqnarray*}$$
となる。

(3)
微小な区間$\diff r$の同心球の体積$\diff V$は

$$\begin{eqnarray*} \diff V &=& 4\pi r^2 \diff r \end{eqnarray*}$$
と表されるのでこの区間内の静電エネルギー$\diff U$は
$$\begin{eqnarray*} \diff U &=&u\ 4\pi r^2 \diff r \end{eqnarray*}$$
と表される。

従って全区間を計算すると

$$\begin{eqnarray*} U &=& \int_a^{\infty} u\ 4\pi r^2 \diff r \\ \\ &=& \int_a^{\infty} \frac{q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0} \frac{1}{r^4} 4\pi r^2 \diff r \\ \\ &=& \frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0} \int_a^{\infty} \frac{1}{r^2} \diff r \\ \\ &=& \frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0} \biggl[-\frac{1}{r} \biggr]_a^{\infty} \\ \\ &=& \frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0} \biggl[-\frac{1}{\infty} -\biggl( - \frac{1}{a} \biggr) \biggr] \\ \\ &=& \frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0 a} \end{eqnarray*}$$
となる。