運動方程式から導かれる関係式 ~ 力積と運動量の関係

問題

運動方程式$m \vec{a}=\vec{F}$から力積と運動量の関係式を導け。
但し、位置ベクトルを$\vec{r}=(x, y, z)$として扱うとする。

解答

運動方程式は

$$\begin{eqnarray*} m \vec{a} &=& \vec{F} \\ \\ m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F} \\ \\ \frac{\diff }{\diff t} \bigl( m \vec{v} \bigr)&=& \vec{F} \\ \end{eqnarray*}$$
と表される。質量$m$については注を参照

$\frac{\diff }{\diff t}\bigl(\ \bigr)$の括弧内$m \vec{v}$は運動量$\vec{p}$になる。

ここで、運動量$\vec{p}$を用いて記述すると

$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff \vec{p}}{\diff t} &=& \vec{F} \\ \end{eqnarray*}$$

と表され、この式の両辺を時間$t$で積分すると

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{\diff \vec{p}}{\diff t} \diff t &=& \int \vec{F} \diff t\\ \\ \int \diff \vec{p} &=& \int \vec{F} \diff t \end{eqnarray*}$$

となり、この式が「力積と運動量の関係式」になります。
左辺の$\int \vec{F} \diff t$が力$F$が作用している時間の全力積を表しています。

具体的な計算は、モデルの設定に応じて積分区間を指定すればよい。
例えば、A点では
$\vec{v}(t_\mathrm{A})=\vec{v}_\mathrm{A}, \vec{p}(t_\mathrm{A})=\vec{p}_\mathrm{A}$、
B点では
$\vec{v}(t_\mathrm{B})=\vec{v}_\mathrm{B}, \vec{p}(t_\mathrm{B})=\vec{p}_\mathrm{B}$
とすると

$$\begin{eqnarray*} \int_{\vec{p}_\mathrm{A}}^{\vec{p}_\mathrm{B}} \diff \vec{p} &=& \int_{t_\mathrm{A}}^{t_\mathrm{B}} \vec{F} \diff t \\ \\ \vec{p}_\mathrm{B} - \vec{p}_\mathrm{A}&=& \int_{t_\mathrm{A}}^{t_\mathrm{B}} \vec{F} \diff t \end{eqnarray*}$$

となり、運動量$\vec{p}$の変化が受けた力積の総和$\vec{I}$になることが確認できる。

力積$\vec{I}$を求める問題の多くは右辺の積分が出来ないことが通常で、運動量変化$\Delta \vec{p}$を計算することで力積$\vec{I}$を求めることになります。

注

本来、ニュートンが始めに提唱した式は

$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff }{\diff t} \bigl( m \vec{v} \bigr)&=& \vec{F} \end{eqnarray*}$$

の形で、「運動量$m \vec{v}$の時間変化が作用している力$\vec{F}$と等しい」と解釈できます。

この式を積の微分として展開すると

$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff m}{\diff t} \ \vec{v} + m \ \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F} \end{eqnarray*}$$

となり、多くの場合、質量$m$が一定のモデルを扱うので左辺の第1項が無くなり

$$\begin{eqnarray*} m \ \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \vec{F} \\ \\ m \ \vec{a} &=& \vec{F} \end{eqnarray*}$$

となり、よく知られた式の形が導かれます。