月別アーカイブ：2024年09月

2024/9/29

磁場中の荷電粒子の運動

問題 $z$軸方向に一様な磁場$\vec{B}$がある。この磁場内で運動する荷電粒子について論ぜよ。但し、荷電粒子の質量$m$、電荷を$q$とする。解答一様な磁場内$\vec{B}$で運動する荷電粒子に作用する力はローレンツ力が作用するので運動方程式は \begin{eqnarray*} m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \end{eqnarray*} と表される。成分で表すと \begin{eqnarray*} ...

物理学電磁気学

2024/9/27

交流の平均電流

問題電流が周期的に変動し$I(t) = I_0 \sin (2\pi ft)$で与えられるとする。以下の問いに答えよ。 (1) 抵抗$R$に流したときの平均仕事率$\bar{P}$を求めよ。 (2) この回路の平均電流を求めよ。解答 (1) 仕事率$P$は \begin{eqnarray*} P =I^2 R &=& \biggl[I_0 \sin(2\pi f t)\biggr]^2 R \\ \\ &=& I_0^2 R \sin^2(2\pi ft) \end{eqnarray*} と表される ...

物理学電磁気学

2024/9/25

電気双極子の電位・電場

問題 $z$軸上に点電荷$\pm Q$が距離$d$離れて置かれている。この距離$d$の中心を原点として以下の問いに答えよ。但し$d \ll r$とする。 (1) 点P$(x,y,z)$においてこの2つの電荷が作る電位$\phi$を求めよ。 (2) 点P$(x,y,z)$においこの2つの電荷が作る電場$E$を求めよ。解答 (1) それぞれの電荷が作る電位は \begin{eqnarray*} \phi(r_+) &=& \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt ...

物理学電磁気学

2024/9/25

RC回路のエネルギー関係式

問題図のようなRC回路を考える。スイッチを入れる前にコンデンサーに電荷は蓄えられていないものとする。時刻$t=0$でスイッチを入れたとして以下の問いに答えよ。 (1) この回路の回路方程式を記述せよ。ある時刻$t$におけるコンデンサーの電荷を$Q(t)$としてよい。 (2) 時計回りの向きを正として、$t=0$における電流$I(0)$を求めよ。 (3) 十分に時間が経った後のコンデンサーの電荷$Q(\infty)$を求めよ。 (4) $Q-t$グラフを描け。また、$Q-t$グラフの原点での傾きを求めよ。 ...

物理学電磁気学

2024/9/22

ソレノイドコイルの作る磁場

問題単位長さ当たりの巻き数が$n$である無限長ソレノイドコイルが作る磁場について以下の問いに答えよ。 (1) 中心軸上の磁場$B_{z_n}$を求めよ。解答円形電流が作る磁場の結果より円形電流の中心軸上に作られる磁場の大きさ$B_z$は \begin{eqnarray*} B_z &=& \frac{\mu_0 I}{2} \frac{a^2}{(a^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} である。この円形電流が重なってソレノイドコイルが形成されると考えると ...

物理学電磁気学

2024/9/21

円形電流が作る磁場

問題半径$a$の円形電流に時計回りの電流$\vec{I}$が流れている。この円形電流が作る磁場について以下の問いに答えよ。 (1) 半径$a$の円形電流が中心軸上に作る磁場$B_z$を求めよ。 (2) 半径$a$の円形電流が中心点$o$に作る磁場$B_{z_0}$を求めよ。解答 (1) 円形電流の微小部分$\diff \vec{s}$を設定し、この微小部分が中心軸上の中心から距離$z$離れた位置に作る磁場を考える。ベクトル部分を抜き出すと下図のようになる。ビオーサバールの法則より、 \begin ...

物理学電磁気学

2024/10/2

直線電流が作る磁場~ ビオ・サバールの法則

問題無限に長い直線電流が作る磁場を求めよ。解答ビオーサバールの法則より電流の微小部分(電流素片)$I \diff \vec{s}$が点Pの位置に作る磁場$d \vec{B}$は \begin{eqnarray*} \diff \vec{B} = \frac{\mu_0 }{4\pi} \frac{I \diff \vec{s} \times \vec{r}}{r^3} \end{eqnarray*} と表されるので、直線電流の微小部分が作る電流から距離$R$の位置の磁場の大きさ$\diff B$は ...

物理学電磁気学

2024/9/18

帯電円盤が中心軸上に作る電位・電場

問題半径$R_0$の円盤に一様な面密度$\sigma$で電荷が帯電している。以下の問いに答えよ。 (1) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電位$\phi(z)$を求めよ。 (2) 円盤の中心軸上の点P$(0,0,z)$における電場$E_z$を求めよ。解答図のように円盤の中心から半径$R\ (\le R_0)$の場所に幅$\diff R$の微小リングを考える。半径$R$の微小リングが持つ電荷$\diff Q$は \begin{eqnarray*} \diff Q = 2\pi R \ ...

力学物理学

2024/9/18

滑らかな斜面を昇る運動

問題水平面となす角$\theta$の滑らかな斜面に質量$m$の物体を置いた。斜面を左向きに水平加速度$\alpha$で動かしたところ、物体は斜面を上り始めた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 斜面上を長さ$L$移動するのにかかる時間$t_1$を求めよ。解答 (1) 動く斜面に固定された座標系において、物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と接触力「斜面からの抗力$R$」と慣性力「$m \alpha$」となり、座標軸$x,y$に沿って成分を分解すると図のようになる。( ...

力学物理学

2024/9/16

並進運動する車内での鉛直投げ上げ

問題電車が一定の加速度$\alpha$で水平右向きに進んでいる。この電車内で、質量$m$の物体を初速度$v_0$で床から鉛直に投げ上げた。以下の問いに答えよ。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 速度$v_x(t), v_y(t)$及び位置$x(t), y(t)$を表せ。 (3) 再び床に戻ったときの位置を求めよ。解答 (1) 電車内に座標軸を設定すると物体に作用する力は場の力「重力$mg$」と慣性力「$m\alpha$」となる。従って、運動方程式は \begin{eqnarray*} m ...

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