モーメントと角運動量の関係

運動方程式から「モーメントと角運動量の関係式」の導出

ここでは「モーメントと角運動量の関係」を解説していきます。
この関係式ではベクトルの外積を用いるので、物理数学の確認をしておくと良いでしょう。

3次元空間でのモデルを考えてみましょう。

運動方程式は

$$
\begin{aligned}
m \vec{a} &= \vec{F} \\
\\
m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{F}
\end{aligned}
$$

となります。
この運動方程式の両辺に対して「左側から位置ベクトル $\vec{r}$ の外積」をとると

$$
\begin{aligned}
\vec{r} \times m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{r} \times \vec{F}
\end{aligned}
$$

となります。
ここで質量 $m$ は一定とし、左辺が積の微分 $\displaystyle \frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times m \vec{v} \right)$ と書けると仮定すると

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times m \vec{v} \right) &=\vec{r} \times \vec{F}
\end{aligned}
$$

と表されます。
左辺の微分の中身「 $\vec{r} \times m\vec{v}$ 」を「角運動量 $\vec{L}$ 」と呼びます。
右辺の「 $\vec{r} \times \vec{F}$ 」を「力のモーメント $\vec{M}$ 」(別名:トルク)と呼びます。

前式は運動量 $\vec{p}$ を用いて

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times \vec{p} \right) &=\vec{r} \times \vec{F}
\end{aligned}
$$

と表され、角運動量 $\vec{L}$ 、力のモーメント $\vec{M}$ を用いて表すと

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t} &=\vec{M}
\end{aligned}
$$

と表され、これを「角運動量とモーメントの関係式」と呼びます。
この形も運動方程式の別の形態と言えます。

ここで、前述の「左辺が積の微分 $\displaystyle \frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times m \vec{v} \right)$ と書けると仮定する」の部分が本当に正しいのか確認しておきましょう。

前述の運動方程式の左辺を計算すると

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times m \vec{v} \right) &=
\frac{\diff \vec{r}}{\diff t}\times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t} \left( m \vec{v} \right) \\
\\
&=\vec{v}\times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t} \left( m \vec{v} \right) \\
\\
&= \vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t} \left( m \vec{v} \right)
\end{aligned}
$$

となります。( $\because \ \vec{v}\times \vec{v}=\vec{0}$ )
ここで、質量は一定なので
$$
\begin{aligned}
\frac{\diff }{\diff t} \left( \vec{r} \times m \vec{v} \right) &= \vec{r} \times m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t}
\end{aligned}
$$
となり、この結果は元の形になっています。従って、初めの前提が正しいことが確認できます。

力のモーメント $\vec{M}$ と角運動量 $\vec{L}$ の物理量としての次元は

角運動量 $\vec{L}=\vec{r} \times m\vec{v}$ については「質点が点 $O$ に対する回転的な運動状態」を表す量になります。
角運動量 $\vec{L}$ はベクトル量で、「 $\vec{r}$ と $\vec{v}$ に垂直なベクトル」となります。

次元は

$$
\begin{aligned}
\left[ L \right] \left[ M \right] \left[ \displaystyle \frac{L}{T} \right] = \left[ \displaystyle \frac{ML^2}{T} \right]\\
\end{aligned}
$$

となります。

力のモーメント $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$ については「点 $O$ まわりの角運動量を変化させる原因となる量」になります。力学的には「点 $O$ まわりに回転させようとする働き(回転能率)」を表す量になります。力のモーメント $\vec{M}$ はベクトル量で、「 $\vec{r}$ と $\vec{F}$ に垂直なベクトル」となります。

次元は

$$
\begin{aligned}
\left[ L \right] \left[ \displaystyle \frac{ML}{T^2} \right] = \left[ \displaystyle \frac{ML^2}{T^2} \right]\\
\end{aligned}
$$

となります。

ここでの注意点は力のモーメント $\vec{M}$ の次元と角運動量 $\vec{L}$ の次元は異なることです。
「角運動量 $\vec{L}$ を $t$ で微分した量」が力のモーメント $\vec{M}$ になるので $\left[ T^{-1} \displaystyle \right]$ の分だけ違いが出ます。
これは「仕事と運動エネルギー」や「力積と運動量」の場合の次元とは異なるので注意してください。

角運動量保存則

角運動量と力のモーメントの関係式は

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t}=\vec{M}
\end{aligned}
$$

と表されます。

ここで、力のモーメント $\vec{M}$ が $\vec{0}$ であれば

$$
\begin{aligned}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t}=\vec{0}
\end{aligned}
$$

となります。

これは「角運動量 $\vec{L}$ が時間的に変化しない」ことを意味しています。
従って、力のモーメントが働かない場合、角運動量は保存されます。
これを「角運動量保存則」と呼びます。

力のモーメントは

$$
\begin{aligned}
\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}
\end{aligned}
$$

で定義されます。
外積の大きさは

$$
\begin{aligned}
|\vec{M}|=|\vec{r}\times \vec{F}|=rF\sin\theta
\end{aligned}
$$

となります。ここで $\theta$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ と力 $\vec{F}$ のなす角です。

従って、力のモーメントが $\vec{0}$ になるのは、例えば次のような場合です。

• $\vec{F}=\vec{0}$ の場合
• $\vec{r}=\vec{0}$ の場合
• $\vec{r}$ と $\vec{F}$ が平行、または反平行の場合
  つまり、$\theta=0,\ \pi$ の場合

特に重要なのは、$\vec{F}$ が働いていても、その力の向きが点 $O$ から見た位置ベクトル $\vec{r}$ と同じ直線上にある場合です。
この場合、

$$
\begin{aligned}
|\vec{M}|=rF\sin 0=0
\end{aligned}
$$

または

$$
\begin{aligned}
|\vec{M}|=rF\sin \pi=0
\end{aligned}
$$

となるので、力のモーメントは生じません。

つまり、力が働いていても、その力のモーメントが $\vec{M}=\vec{0}$ であれば角運動量 $\vec{L}$ は保存されることになります。

力積と運動量との対応

なお、慣性モーメント $I$ は剛体の回転運動で詳しく扱います。ここでは並進運動における質量 $m$ に対応する量として紹介しておきます。

力のモーメント - 例題

力のモーメントの例題を紹介します。

力のモーメントの計算

天秤が回転しない条件

次は「力学の問題を考える手順」を解説します。
また、剛体の運動については別途解説します。