それでは実際の運動モデルについて考えて行きましょう。
複雑なモデルの話をする前に、まずは簡単な例を扱います。
一つ目は「等速度運動」です。文字通り、「等速度」である運動になります。
「速度が一定」ということは、「大きさ」だけでなく「向き」も変化しないことを意味します。
「速度の向きが変わらない」ということは、「運動方向が変わらない」、即ち「直線運動」になります。
よって、「等速度運動」のことを別名で「等速直線運動」と呼ぶこともあります。
二つ目のモデルは「等加速度運動」です。
このモデルも典型的なモデルになります。
「等加速度運動」は文字通り「加速度」が「等しい」運動になります。
等速度運動は「力が働いていない状態」あるいは「力が働いていてもつり合っている(合力が $0$ )状態」を表す基本モデルです。
等加速度運動は、現実の多くの運動を近似的に表すことができる基本モデルです。
等速度運動(等速直線運動)
話を単純にするために一次元の直線運動 ( $x$ 軸上)のモデルとして考えるとします。
点 $A$ を時刻 $t=t_0=0$ に通過し、そのとき、位置 $x(0)=x_0=0$ 、速度 $v(0)=v_0$ とし、
点 $B$ を時刻 $t=t_1$ に通過し、そのとき、位置 $x(t_1)=x_1=x$ 、速度 $v(t_1)=v_0$ とします。
等速度運動は「速度 $v(t)$ が時間に依らずある一定値である」ことを意味しています。
その一定の速度を $v_0$ とすると $x$ 軸上の運動なので
$$
\begin{aligned}
v(t)= \frac{\diff x}{\diff t} =v_0
\end{aligned}
$$
と表すことができます。
ここで、前回に解説した「「位置・速度・加速度」の関係式から求めていきます。
今回は速度 $v(t) =v_0$ がわかっているので、加速度 $a(t)$ は
$$
\begin{aligned}
a(t)= \frac{\diff v(t)}{\diff t} =\frac{\diff }{\diff t} \left( v_0 \right) =0
\end{aligned}
$$
となります。
この結果は当然で、「速度が一定ということは加速度が $0$ である」ことを意味しています。
続いて、位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ の時間積分であるので
$$
\begin{aligned}
v(t)= \frac{\diff x}{\diff t} &=v_0 \\
\\
\int \frac{\diff x}{\diff t} dt&=\int v_0\ dt \\
\\
\int dx &= \int v_0\ dt \\
\\
x &=v_0 t +C \quad (C:\ \mbox{積分定数})
\end{aligned}
$$
となります。ここで、初期条件 $x(0)=0$ より
$$
\begin{aligned}
x(0)= v_0 \cdot 0 + C &= 0 \\
\\
C&=0
\end{aligned}
$$
となるので位置 $(t)$ は
$$
\begin{aligned}
x(t)= v_0 t
\end{aligned}
$$
と表すことができます。
ここで、$x-t$ グラフと $v-t$ グラフで表すと下図のようになります。
$v-t$ グラフでは定義通りに速度 $v_0$ で一定になります。また、傾きは $0$ なので、加速度 $a(t)=0$ の計算結果とも一致します。 $v-t$ グラフと $t$ 軸に囲まれた部分の面積は時刻 $0$ から時刻 $t$ までの間に位置 $x$ が変化した量の総量 $\Delta x$ を表しています。
$x-t$ グラフでは変位 $x$ が直線的 ($x=v_0 t$) に増加していく図になります。この直線の傾きは速度$v(t)$ を表していて、速度 $v_0$ が一定の結果とも一致します。
注) 高校物理的な方法について
速度 $v(t)$ について
$$
\begin{aligned}
v(t) = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0} =\frac{x-0}{t-0} =\frac{x}{t}=v_0
\end{aligned}
$$
となります。
よって、
$$
\begin{aligned}
x=v_0 t
\end{aligned}
$$
と表すことができます。
等加速度運動
「等加速度運動」は文字通り「加速度」が「等しい」運動になります。
話を単純にするために一次元の直線運動 ( $x$ 軸上)のモデルとして考えるとします。
点 $A$ を時刻 $t=t_0=0$ に通過し、そのとき、位置 $x(0)=x_0=0$ 、速度 $v(0)=v_0$ とし、
点 $B$ を時刻 $t=t_1$ に通過し、そのとき、位置 $x(t_1)=x_1=x$ 、速度 $v(t_1)=v_1=v$ とします。
加速度を $a(t)=a \ (\mbox{一定})$ として、「「位置・速度・加速度」の関係式から求めていきます。
$$
\begin{aligned}
a(t)= \frac{\diff v(t)}{\diff t} =a
\end{aligned}
$$
より、両辺を $t$ で積分すると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\diff v}{\diff t} \diff t &=\int a\ \diff t \\
\\
\int \diff v &= \int a\ \diff t \\
\\
v &=at +C_1 \quad (C_1:\mbox{積分定数})
\end{aligned}
$$
となります。ここで、初期条件 $v(0)=v_0$ より
$$
\begin{aligned}
v(0)= a \cdot 0 + C_1 &= v_0 \\
\\
C_1&=v_0
\end{aligned}
$$
となるので、速度 $v(t)$ は
$$
\begin{aligned}
v(t)= a t + v_0 \\
\end{aligned}
$$
と表すことができます。
さらに、速度の定義 $\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$ より、両辺を $t$ で積分すると
$$
\begin{aligned}
v(t)=\frac{\diff x}{\diff t} &= a t + v_0 \\
\\
\int \frac{\diff x}{\diff t} \diff t &=\int \left( at + v_0 \right)\ \diff t \\
\\
\int \diff x &= \int \left( at + v_0 \right)\ \diff t \\
\\
x &=\frac{1}{2} at^2 +v_0 t +C_2 \quad (C_2:\mbox{積分定数})
\end{aligned}
$$
となります。ここで初期条件 $x(0)=0$ より
$$
\begin{aligned}
x(0)= \frac{1}{2} a \cdot 0^2 +v_0 \cdot 0+ C_2 &= 0 \\
\\
C_2&=0
\end{aligned}
$$
となるので、位置 $x(t)$ は
$$
\begin{aligned}
x(t)= \frac{1}{2} a t^2 +v_0 t\\
\end{aligned}
$$
と表すことができます。
ここで、$a-t$ グラフ, $v-t$ グラフ, $x-t$ グラフについては下図のようになります。
$a-t$ グラフにおいて、等加速度運動なので $a(t)=a$ で一定の値のグラフになります。
また、$a-t$ グラフと $t$ 軸に囲まれた部分の面積は時刻 $0$ から時刻 $t$ までの間に速度 $v$ が変化した量の総量 $\Delta v$ を表しています。
$$
\begin{aligned}
\mbox{面積}\ \Delta v= at\\
\end{aligned}
$$
この値は $v-t$ グラフの速度増加分 $at$ に対応しています。
$v-t$ グラフにおいて、加速度 $a$ は $v-t$ グラフの傾きに対応します。 等加速度運動は、「加速度 $a$ が一定」を意味するのでグラフの傾きが一定であり、即ち、直線のグラフになります。また、初速度が $v_0$ であることは、$v$ 軸の切片が $v_0$ あることを意味しています。
また、$v-t$ グラフと $t$ 軸に囲まれた部分の面積は時刻 $0$ から時刻 $t$ までの間に位置 $x$ が変化した量の総量 $\Delta x$ を表しています。
$$
\begin{aligned}
\mbox{面積}&= \mbox{上部の三角形}+ \mbox{下部の長方形} \\
\\
\mbox{面積}\ \Delta x &= \frac{1}{2}\ t\cdot at + t \cdot v_0\\
\\
&=v_0t + \frac{1}{2} at^2
\end{aligned}
$$
この値は $x-t$ グラフに対応しています。
$x-t$ グラフにおいて、グラフは $\displaystyle x(t)= \frac{1}{2}at^2 + v_0t$ で表されるので $t$ の$2$次関数の曲線で表されます。
この様に、数式・グラフ・物理的意味がすべて一致していることが確認できます。
等速度運動・等加速度運動 - 例題
例題1
$x$ 軸に沿って運動する質点が $t_1 =1\ \text{s}$ のとき $x_1 =14\ \text{m}$ の位置にあり、$t_2 =3\ \text{s}$ のとき $x_2 =4\ \text{m}$ の位置にある。
(1) この運動における変位 $\Delta x$ を求めよ。
(2) この運動における平均速度 $\bar{v}$ を求めよ。
解答
(1)
変位 $\Delta x$ は
$$
\begin{aligned}
\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = x_2 - x_1 = (4-14)\ \text{m} =-10\ \text{m}
\end{aligned}
$$
となります。
マイナスは「正方向と逆向き(負方向)」を意味します。
(2)
平均速度は
$$
\begin{aligned}
\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{-10\ \text{m}}{(3-1)\ \text{s}} = -5\ \text{m/s}
\end{aligned}
$$
となります。
単位が与えられている問題は単位の扱いに注意しましょう。
例題2
$x$ 軸に沿って運動する質点が $v(t)=5+10t\ \text{m/s}$ に従って運動する。
この質点は $t=0\ \text{s}$ における位置は $20\ \text{m}$ である。
(1) 加速度 $a(t)$ を表せ。
(2) $t=0 \ \text{s}$ における質点の速度 $v(0)$ を求めよ。
(3) 位置 $x(t)$ を表せ。
解答
(1)
加速度の定義 $\displaystyle a=\frac{\diff v}{\diff t}$ より
$$
\begin{aligned}
a(t) = \frac{\diff v}{\diff t} = \frac{\diff}{\diff t}(5+10\ t) =10\ \text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
となります。
従って、この運動は一定の加速度 $10\ \text{m/s}^2$ をもつ等加速度運動であることが判ります。
(2)
$v(t)$ の式に $t=0\ \text{s}$ を代入すると
$$
\begin{aligned}
v(0) =(5+10\cdot 0 )\ \text{m/s}=5\ \text{m/s}
\end{aligned}
$$
となります。
(3)
速度の定義 $\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$ より
$$
\begin{aligned}
\frac{\diff x}{\diff t} &=v(t) = 5+10t \\
\\
\int \frac{\diff x}{\diff t} \diff t &=\int ( 5+10t ) \diff t \\
\\
\int \diff x &=\int ( 5+10t ) \diff t \\
\\
x &=5t+5t^2 +C \quad C:\mbox{積分定数}
\end{aligned}
$$
となります。ここで初期条件 $x(0)=20\ \text{m}$ より
$$
\begin{aligned}
x(0) =5\cdot 0+5\cdot 0^2 +C &= 20\ \text{m} \\
\\
C&=20 \ \text{m}
\end{aligned}
$$
となります。
従って
$$
\begin{aligned}
x(t)=(5t+5t^2 +20) \ \text{m}\\
\end{aligned}
$$
となります。
例題3
加速度 $\displaystyle a=\frac{\diff v}{\diff t}=g$ (一定)で運動する物体がある。
初期条件が $v(0)=0,\ x(0)=h$ としたとき、以下の問いに答えよ。
(1) $v(t)$ を計算せよ。
(2) $x(t)$ を計算せよ。
(3) $a(t),\ v(t),\ x(t)$ をグラフで表せ。
(4) 時刻 $0$ から時刻 $t$ までの間に位置 $x$ が変化した量の総量 $\Delta x$ を$v-t$ グラフから求めよ。
解答
(1)
加速度 $a$ を $t$ で積分すると
$$
\begin{aligned}
\frac{\diff v}{\diff t} &=g \\
\\
\int \frac{\diff v}{\diff t} \diff t &=\int g\ \diff t \\
\\
\int \diff v &=\int g\ \diff t \\
\\
v &=gt+C \quad C:\mbox{積分定数}
\end{aligned}
$$
となります。
初期条件 $v(0)=0$ より
$$
\begin{aligned}
v(0) =g\cdot 0+C &=0 \\
\\
C&=0
\end{aligned}
$$
となるので、速度 $v(t)$ は
$$
\begin{aligned}
v(t) =gt
\end{aligned}
$$
となります。
(2)
速度 $v(t)$ を $t$ で積分すると
$$
\begin{aligned}
v=\frac{\diff x}{\diff t} &=gt \\
\\
\int \frac{\diff x}{\diff t} \diff t &=\int gt\ \diff t \\
\\
\int \diff x &=\int gt\ \diff t \\
\\
x &=\frac{1}{2}gt^2+C \quad C:\mbox{積分定数}
\end{aligned}
$$
となります。
初期条件 $x(0)=h$ より
$$
\begin{aligned}
x(0) =\frac{1}{2}g\cdot 0^2+C &=h \\
\\
C&=h
\end{aligned}
$$
となるので、位置 $x(t)$ は
$$
\begin{aligned}
x(t) =\frac{1}{2}gt^2 +h
\end{aligned}
$$
となります。
(3)
それぞれ、
$$
\begin{aligned}
a(t) &=g \\
\\
v(t) &=gt \\
\\
x(t) &=\frac{1}{2}gt^2 +h
\end{aligned}
$$
をグラフにすると
となります。
(4)
$v-t$ グラフと $t$ 軸に囲まれた部分の面積は、時刻 $0$ から時刻 $t$ までの変位 $\Delta x=x(t)-x(0)$ に相当する。
ここでは $v(t)=gt$ なので、面積は三角形より
$$
\begin{aligned}
\mbox{面積}\ \Delta x &= \frac{1}{2}\ t\cdot gt = \frac{1}{2}gt^2\\
\end{aligned}
$$
となります。
従って、位置 $x(t)$ は「初期位置 $x(0)$ $+$ 変位 $\Delta x$ 」なので
$$
\begin{aligned}
x(t) &=x(0)+\Delta x =h+ \frac{1}{2}gt^2 \\
\end{aligned}
$$
となり、(2)の結果と一致します。
注) この運動は軸を「下向き正」に設定した高さ $h$ からの自由落下のモデルになります。
次は、この加速度を生み出す原因である「「力」を考えます。
次に読む：力