仕事の定義
一般的に使われている用語としての「仕事」とは異なり、物理では「力がする働き」を「仕事」と言います。詳しく言うと、「物体に力を加えて物体を移動させること」を「仕事」とします。
従って、「力 $\vec{F}$」と「変位 $\vec{x}$」が重要になります。
図の様に直線上の物体に力 $\vec{F}$ を加えて変位 $\vec{x}$ させたとします。
この場合 (力と変位が同一直線上の場合) の仕事 $W$ は
$$
\begin{aligned}
W =|\vec{F}||\vec{x}| =Fx
\end{aligned}
$$
と表します。
この仕事は「力 $\vec{F}$ が物体に仕事 $W$ した」や「物体は力 $\vec{F}$ に仕事 $W$ された」と表現します。
従って、仕事の物理量としての「次元」は
$$
\begin{aligned}
\left[ \frac{ML}{T^2} \right] \left[ L\right] = \left[ \frac{ML^2}{T^2}\right]
\end{aligned}
$$
と計算されます。
また、仕事の単位「 $\text{J}$ ジュール」については
$$
\begin{aligned}
\text{J}=\text{N m}=\text{kg m/s}^2\cdot \text{m} = \text{kg m}^2/\ \text{s}^2
\end{aligned}
$$
となります。
作用する力が移動方向に沿っていれば問題ないのですが、移動方向に対して角度 $\theta$ を持っていた場合、「移動方向と同じ成分の力」のみ仕事とみなします。
従って、図の様な場合、「力 $\vec{F}$ の $x$ 軸に沿った成分」を取り出してその成分を「仕事の力」として扱います。
このとき、仕事 $W$ は
$$
\begin{aligned}
W =F \cos \theta \cdot x =Fx \cos \theta
\end{aligned}
$$
となります。
この2つの場合の状態の仕事を一つで表すのに「内積」を用いると
仕事は
$$
\begin{aligned}
W =\vec{F}\cdot \vec{x} = |\vec{F}| |\vec{x}| \cos \theta =Fx \cos\theta
\end{aligned}
$$
となります。
この式を「仕事の定義($1$次元)」とします。
この式の有用なことは「仕事の正負はなす角 $\theta$ で決まる」ところにあります。
変位 $\vec{x}$ と作用する力 $\vec{F}$ のなす角 $\theta$ が
「$0^\circ$ から $90^\circ$ の間は $\cos \theta$ の値は正」であり、
「$90^\circ$ から $270^\circ$ の間は $\cos \theta$ の値は負」であり、
「$270^\circ$ から $360^\circ$ の間は $\cos \theta$ の値は正」となります。
従って、「負の仕事はどうだったのか？」と悩むこと無く、「変位 $\vec{x}$ と作用する力 $\vec{F}$ のなす角 $\theta$ だけ着目すればよい」ことになります。
仕事の定義 ($3$次元拡張)
さらに、仕事を$3$次元空間に拡張して考えてみましょう。
点$\text{AB}$間のある場所での微小変位 $\diff \vec{r}$ を考え、その間に力 $\vec{F}$ が作用していたとします。
このときの微小仕事 $\diff W$ は
$$
\begin{aligned}
\diff W =F \cos \theta \ \diff r =\vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
となります。
この操作を$\text{AB}$間すべてについて行えばよく、これは移動した曲線に沿っての積分になります。
これを表すと
$$
\begin{aligned}
W =\int_C \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
となります。
この様な積分を「線積分」と呼びます。
運動方程式から「仕事とエネルギーの関係式」の導出
それでは運動方程式から「仕事とエネルギーの関係式」を導いていきます。
運動方程式
$$
\begin{aligned}
m \vec{a} &= \vec{F} \\
\\
m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{F}
\end{aligned}
$$
の両辺に「 $\diff \vec{r}$ の内積を取って積分」すると
$$
\begin{aligned}
\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \diff \vec{r} &=\int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
となります。
すると右辺は「仕事」が現れます。
さらに、速度の定義 $\displaystyle \vec{v}=\frac{\diff \vec{r}}{\diff t}$ より $\diff \vec{r}= \vec{v}\ \diff t$ と表されるので
$$
\begin{aligned}
\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}\ \diff t &=\int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
と書き換えられ、左辺を「 $\displaystyle \frac{\diff}{\diff t} \left( \quad \right)$ 」でまとめると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right)\ \diff t &=\int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
となります。この式変形については後で説明します。
この式がこのモデルの「仕事とエネルギーの関係式の元」になります。
「時間微分の形で記述された量」は物理的に重要な物理量で、ここでの「 $\displaystyle \frac{1}{2} mv^2$ 」は「運動エネルギー $K$」と呼ばれる物理量になります。
従って、「何故運動エネルギー $\displaystyle \frac{1}{2} mv^2$ はか？」の問いに対する答えは「運動エネルギーの右辺に仕事が現れるような操作をし、左辺に時間微分の形を作った結果 $\displaystyle \frac{1}{2} mv^2$ となった」とも言える訳です。
また「右辺の仕事」について左辺側の視点で言及すると「加速度 $\displaystyle \frac{\diff \vec{v}}{\diff t}$ と速度 $\vec{v}$ の内積を時間積分した結果として自然に現れる量」となっています。
ここで、積分区間について考えてみましょう。
ここで初期条件として$\text{AB}$点の時刻をそれぞれ $t_A, t_B$ とし
$$
\begin{aligned}
v(t_A) =v_A \\
\\
v(t_B) =v_B \\
\end{aligned}
$$
と設定すると、この積分は
$$
\begin{aligned}
\int_{t_A}^{t_B} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right)\ \diff t &=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
となります。
積分計算を進めると
$$
\begin{aligned}
\left[ \frac{1}{2} mv^2 \right]_{v(t_A)}^{v(t_B)} &=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\\
\left[ \frac{1}{2} mv^2 \right]_{v_A}^{v_B} &=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\\
\frac{1}{2} mv_B^2 -\frac{1}{2} mv_A^2 &=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\end{aligned}
$$
となります。
この式が「仕事とエネルギーの関係式」になります。
右辺は「外力 $\vec{F}$ による仕事 $W$ 」を表し、左辺は「運動エネルギーの変化量 $\Delta K$ 」を表しています。
$\displaystyle \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right)$導出の計算について
前述の運動方程式の変形の途中の式
$$
\begin{aligned}
\int m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}\ \diff t &=\int \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{aligned}
$$
において、左辺の「 $\displaystyle \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}$ 」の部分を作り出すために「 $\displaystyle \frac{\diff}{\diff t} \left( \vec{v} \cdot \vec{v}\right)$ 」を考えます。
$\displaystyle \frac{\diff}{\diff t} \left( \vec{v} \cdot \vec{v}\right)$ の計算は「積の微分」を使って展開する方法と「括弧内の計算を先にやる」の方法の$2$通りがあります。これら$2$つの結果は等しいはずであることを利用して計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\diff}{\diff t} \left( \vec{v} \cdot \vec{v}\right) &= \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} = 2 \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v}\\
\\
\frac{\diff}{\diff t} \left( \vec{v} \cdot \vec{v}\right) &= \frac{\diff}{\diff t} \left( |\vec{v}| |\vec{v}| \cos 0\right) =\frac{\diff}{\diff t} \left( v^2\right)
\end{aligned}
$$
となります。(自分自身の内積のなす角は$0$)
従って
$$
\begin{aligned}
2 \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} &= \frac{\diff}{\diff t} \left( v^2\right) \\
\\
\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} &= \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} v^2\right)
\end{aligned}
$$
となります。
この結果に質量 $m$ をかければ良いので
$$
\begin{aligned}
m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} = \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right)
\end{aligned}
$$
の結果が得られます。
注）ここでは質量 $m$ は一定とする。
仕事率
機械などに仕事をさせる場合、仕事の量だけでなく「どれだけ速く作業するか？」が重要な課題になります。このような「効率」を考える場合、「単位時間当たりの仕事量」で表し、これを「仕事率 $P$ 」と定義します。
$$
\begin{aligned}
P = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\diff W}{\diff t}
\end{aligned}
$$
仕事率の物理量としての「次元」は
$$
\begin{aligned}
\frac{\left[ \displaystyle \frac{ML^2}{T^2} \right] }{ \left[ T\right] } = \left[ \frac{ML^2}{T^3}\right]
\end{aligned}
$$
と計算されます。
また、仕事率の単位「 $\text{W}$ ワット」については
$$
\begin{aligned}
\text{W}=\text{J} / \text{s} =\left( \text{kg m}^2/\text{s}^2 \right)/ \text{s} = \text{kg m}^2/\ \text{s}^3
\end{aligned}
$$
となります。
仕事率 $P$ は微小仕事 $\diff W =\vec{F} \cdot \diff \vec{r}$ を用いると
$$
\begin{aligned}
P = \frac{\diff W}{\diff t} = \frac{\vec{F} \cdot \diff \vec{r}}{\diff t}
= \vec{F} \cdot \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} = \vec{F} \cdot \vec{v}
\end{aligned}
$$
と変形でき、「仕事率 $P$ 」は「力 $\vec{F}$ と速度 $\vec{v}$ の内積 」として表すこともできます。
次は実際のモデルとして「自由落下」と「おもりを持ち上げる運動」を解説します。